§ 3. Die lineare Kongruenz oder das Strahlennetz. 
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aber nach Nr. 33 jedes Paar rechtsparalleler nullpolarer Geraden zu einem 
Achsenpaar parallel ist, so folgt daraus die Existenz von mehr als einem 
Achsenpaar, also der Parameterwert + 1- In einem linearen Komplex, in 
welchem ein linksparalleles Netz liegt, kann kein rechtsparalles enthalten 
sein, weil zwei solche nur ein Paar absolutpolarer Geraden gemein haben, 
zwei Netze eines Komplexes aber sich in einer Regelschar durchdringen. 
38. Bewegungen des Komplexes in sich. Ein gewöhnlicher 
linearer Komplex geht durch alle Bewegungen in sich selbst über, welche 
seine beiden Achsen in Ruhe lassen; das leisten genau die oo 2 Schraubungen 
um diese Achsen. Es folgt: Ein gewöhnlicher linearer Komplex läßt oo 2 
Bewegungen in sich zu, nämlich die sämtlichen Schraubungen um seine Achsen. 
Zu einem Parallelennetz gehört nur ein eindeutig bestimmter Parallel 
komplex, der das Netz zum Achsennetz hat. Darum führt jede Be 
wegung, die das Achsennetz in sich selbst überführt, auch den zugehörigen 
Parallelkomplex in sich selbst über. Ein Parallelennetz nun geht bei 
allen Schraubungen, die zwei seiner Geraden zu Achsen haben, in sich 
selbst über. Schraubungen dieser Art gibt es oo 4 , und wir schließen: 
Ein Parallelkomplex läßt oo 4 Beivegungen in sich zu. 
In der Euklidischen Geometrie gibt es auch einen linearen Komplex 
mit oo 4 Bewegungen in sich. Er entspricht in seinen Eigenschaften dem 
Parallelkomplex der elliptische^ Geometrie, ist aber ausgeartet: Alle seine 
Strahlen schneiden eine und dieselbe unendlich ferne Gerade. 
§ 3. Die lineare Kongruenz oder das Strahlennetz, 
a) Das allgemeine Strahlennetz. 
39. Die Hauptstrahlen. Eine lineare Kongruenz oder, wie wir 
mit Sturm 1 ) sagen wollen, ein Strahlennetz N und sein absolutpolares N x 
haben, von später zu besprechenden besonderen Fällen abgesehen, zwei 
Geraden gemein. Diese sind zueinander absolutpolar und, weil ein ellip 
tischer Polarraum kein konjugiert imaginäres Paar polarer Geraden be 
sitzt (vgl. Nr. 1), stets reell. 
Ein Strahlennetz besitzt zwei stets reelle absolutpolare Strahlen h, h lf 
die wir Hauptgeraden des Netzes nennen. Sie sind im Falle reeller Leit 
geraden die gemeinsamen Lote von diesen. 
Das Strahlennetz heißt hyperbolisch oder elliptisch, je nachdem es reelle 
Leitgeraden besitzt oder nicht. Es gilt der Satz: 
Im elliptischen Strahlennetz haben alle Geraden gegen die Hauptgeraden 
gleiche Windung, so daß man von einem rechts- und einem linksgewundenen 
elliptischen Strahlennetz reden kann. 2 ) 1 2 
1) Sturm a. a. 0. I. p. 110. 
2) Vgl. Z i n d 1 e r, Liniengeometrie mit Anwendungen, Sammlung Schubert XXXIV. 
p. 174, und den nur für die Euklidische Geometrie brauchbaren Beweis. 
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