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Zweiter Abschnitt. Die linearen Liniengebilde. 
42. Involutionen auf der Achsenfläche. Auf der Achsenfläche 
liegen folgende vier Involutionen: 1) Die Involution der Strahlen, die 
durch denselben Punkt von h gehen, in derselben Ebene von \ liegen. 
2) Die Involution der Strahlen, die durch denselben Punkt von \ gehen, 
in derselben Ebene von h liegen. 3) Die Involution der Achsenpaare, d. i. 
der absolutpolaren Strahlen. 4) Die Involution der Nebensymmetrien. 
Alle vier Involutionen stützen einander d. h. jede führt jede andere 
in sie selbst über. Dieser Satz bedarf eines Beweises nur für die In 
volutionen 1) und 2). Eine beliebige Eben e schneidet die Regelfläche, 
wenn sie durch eine Erzeugende geht, außerdem in einer ebenen Kurve 
dritter Ordnung C 3 vom Geschlecht 1, also ohne Doppelpunkt. Jede der 
Strahleninvolutionen schneidet die C 3 in einer Punktinvolution. Insbesondere 
ist die durch die Involution 1) eingeschnittene Involution identisch mit 
derjenigen, welche durch das Strahlenbüschel um den Schnittpunkt H t 
der h x mit e hervorgerufen wird, während die Involution 2) dieselbe 
Involution einschneidet, wie das Strahlenbüschel um den Schnittpunkt H 
der h mit e. Die vier Flächen des Haupttetreaders schneiden aber in s 
ein vollständiges Vierseit ein, dessen Ecken auf der C 3 liegen. H und 
sind also ein Paar Steiner scher Punkte, sie sind Ecken von unendlich 
vielen solchen der C 3 eingeschriebenen vollständigen Vierseiten, womit die 
Behauptung erwiesen ist. 
Jedes dieser Vierseite liefert ein ganz auf der Fläche verlaufendes 
windschiefes Viereck. Die Verwandtschaft [2, 2] zwischen den Punkten 
von h und h i ist eine Projektivität zwischen zwei Involutionen. 
Als schneidende Ebene wähle ich speziell eine Ebene s durch die 
Neben Symmetrieachse SS 1 . Zentrum der durch 1) und 2) eingeschnittenen 
Involution ist S t bzw. 8. Durch Umwendung um SS t geht die Achsen 
fläche und s, also auch die durch die Involution 4) in C 3 eingeschnittene 
Involution in sich selbst über. Diese ist daher die Involution, welche von 
dem Strahlenblischel um 0, dem Schnittpunkt von T, T i mit s, in die C 3 
eingeschnitten wird. 0 selbst ist Mittelpunkt der C 3 und muß als solcher 
ein Wendepunkt von ihr sein. Die drei von 0 kommenden und ander 
wärts berührenden Tangenten müssen dann in den Schnittpunkten der C 3 
mit SS t berühren, also in S, S 1 und einem weiteren Punkte, den ich X 
nennen will. 
Schließlich ist die von 3) in die C 3 eingeschnittene Involution die 
durch das Strahlenbüschel um X hervorgerufene. Wenn sie nämlich über 
haupt von einem Strahlenbüschel eingeschnitten wird, so kann das Zentrum 
kein anderer Punkt als X sein, denn SS t bilden ein Paar von ihr. Zum 
Beweise des ersten Teils aber kann ich den an sich wichtigen Satz ver 
wenden: Jedes Strahlennetz, das ein Paar der durch Nebensymmetrie hervor