§ 3. Die lineare Kongruenz oder das Strahlennetz. 
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gerufenen Involution zu Leitgeraden hat, hat dieselbe Hegel fläche zur Achsen 
fläche. Die neue Achsenfläche hat mit der alten nämlich außer den beiden 
Leitgeraden und ihren absoluten Polaren auch das Symmetrietetraeder, 
welches seine Rolle beibehält, gemein. Durch die doppelten Leitgeraden und 
8 Erzeugende ist die Regelfläche vierter Ordnung aber eindeutig bestimmt. 
Dann gibt es also immer einen linearen Komplex, in welchem irgend 
ein Paar der Involution 3) Achsen, irgend ein Paar der Involution 4) 
nullpolare Strahlen sind und folglich liegt jedes Paar der einen Involution 
mit jedem der anderen in einer Regelschar, welche sich auf h und \ 
stützt. Für die in G 3 eingeschnittenen Involutionen folgt daraus, daß 
jedes Paar der einen Involution mit jedem der andern und den Punkten 
S, S t auf einem Kegelschnitt liegt. Ein Kegelschnittbüschel, das S, und 
irgend ein Paar der Symmetrieinvolution zu Grundpunkten hat, schneidet 
also des weiteren in C 3 die Involution ein, die von der absoluten Involu 
tion auf der Achsenfläche herrührt. Die Verbindungsgeraden entsprechen 
der Punkte*) laufen alsdann durch einen Punkt der C 3 , von dem ich schon 
gezeigt habe, daß er kein anderer als X sein kann. 
Damit die vier zentralen Involutionen sich gegenseitig in sich selbst 
überführen, ist notwendig, daß die vier Zentren Tangenten an die C 3 haben, 
welche sich in einem Punkt der C 3 schneiden. 2 ) Das ist hier auch der 
Fall; die Tangenten schneiden sich in dem Wendepunkt 0. 
43. G-estaltliche Untersuchung der Achsenfläche. Eine ebene 
C 3 ist entweder einzügig — sie besteht aus einem unpaaren Zuge, der mit 
jeder Geraden ein oder drei reelle Punkte gemein hat, — oder sie ist 
zweizügig, — sie besteht aus einem unpaaren und einem paaren Zuge; 
der letzte hat mit jeder Geraden zwei oder keinen reellen Punkt gemein. 3 ) 
Von einem Punkte des unpaaren Zuges gehen an ihn selbst stets zwei 
reelle Tangenten, an den paaren Zug, wenn er vorhanden ist, ebenfalls 
zwei reelle. Dagegen gehen von einem Punkte des paaren Zuges gar 
keine anderwärts berührenden reellen Tangenten aus. In unserem Falle 
gehen von dem Wendepunkt 0 drei reelle Tangenten OX, OS, 0S ± außer 
der Wendetangente selbst. Er liegt also auf einem unpaaren Zuge, und 
es muß noch ein paarer Zug vorhanden sein. Auf den unpaaren Zug fällt, 
weil die Wendetangente abzuziehen ist, nur noch eine. Die Frage ist, 
welcher der drei Punkte S, S 1} X auf dem unpaaren Zuge liegt. X kann 
es nicht sein, denn die von ihm kommenden reellen Tangenten würden 
dann auf vier Erzeugende der Achsenfläche schließen lassen, welche zu 
1) H. Schröter, Die Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Leipzig*