48 
Zweiter Abschnitt. Die linearen Liniengebilde. 
sich selbst absolutpolar sind. Nehmen wir darum an, daß S x auf dem 
unpaaren Zuge liegt, S und X auf dem paaren. 
Von S x gehen vier reelle Tangenten an die G 3 . Die von ihren Be 
rührungspunkten auslaufenden Erzeugenden der Fläche sind Doppelstrahlen 
der Involution 1). Es gibt also auf h vier Punkte TJ, V, U', V', für 
welche die von einem Punkte ausgehenden Erzeugenden in eine Kuspidal- 
erzeugende zusammenfallen. S dagegen liegt auf dem paaren Zuge, von 
ihm gehen keine reellen Tangenten aus, die Involution 2) hat also keine 
reellen Doppelelemente. 
Mit dieser Erkenntnis ist die Gestalt der Acksenfiäche zu übersehen: 
Die Verzweigungspunkte U, V, TJ’, V' auf h bilden nämlich den Übergang 
zwischen solchen Punkten, von denen zwei getrennte reelle Erzeugende 
ausgehen, und solchen, von denen imaginäre Erzeugende ausgehen. Dagegen 
sendet jeder Punkt der h x mangels reeller Verzweigungselemente zwei 
reelle getrennte Erzeugende aus. Die Fläche besteht aus zwei Zügen, von 
denen jeder die h 1} wenn ich so sagen darf, als einfache Leitgerade hat, 
während jeder von h nur eine Strecke und diese als doppelte Leitgerade benützt. 
Von den beiden Zügen der Fläche schneidet der eine in unsere Ebene e 
den paaren, der andere den unpaaren Zug der C 3 ein. Die Punktinvolutionen 
mit den Zentren 0 und S x , die auf dem unpaaren Zuge liegen, führen jeden 
Zug in sich, diejenigen mit den Zentren S und X die beiden Züge in 
einander über. Es folgt: die Involution der Strahlen, welche sich auf h 
schneiden, und die durch Nebensymmetrie hervorgerufene führen jeden 
der beiden Flächenzüge in sich, die Involution der Strahlen, die sich auf 
h x schneiden, und die der absolutpolaren Strahlen führen die beiden Züge 
ineinander über. 
Die vier Doppelelemente der Involution 1), die Kuspidalgeraden, 
müssen, weil alle vier Involutionen einander in sich selbst überführen, 
durch die drei anderen Involutionen untereinander vertauscht werden. Sie 
ordnen sich daher in zwei Paare von Geraden, die sich auf h x schneiden: 
UW X , V W x und U'Wf, VWf, in zwei Paare absolutpolarer Geraden: 
UW X , U' W x ' und V Wf, V'W X , endlich in zwei Paare in Nebensymmetrie 
entsprechender Geraden: ÜW X , VW X ' und U' Wf, V' W x . 
44. Eine metrische Relation. Zur Festlegung der Punkte auf 
h und h x will ich ihre Abstände von S und S x benutzen, die Strecken 
nicht größer als ~ werden lassen, dafür aber positive Richtungen ein 
führen, die in der vereinbarten Beziehung stehen. 
Die Koordinaten der Punkte bezeichne ich durch die kleinen zuge 
hörigen Buchstaben und habe dann: 
u = — v, u' — — v , u —y = u , v -f = v , w\ = — ivf = ~ •