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Zweiter Abschnitt. Die linearen Liniengebilde. 
len Clifford sehen Scharen, deren Hauptachsen auf einer orthogonalen Schar 
laufen, ein Büschel, dessen Grundstrahlen die Achsen dieser Schar sind. 
Die Strahlen und orthogonalen Cliffordschen Scharen eines Parallelen 
netzes stehen in dem Zusammenhänge der Punkte und größten Kreise der 
Euklidischen Kugel. Wie dem Punkt der Kugel sein Gegenpunkt zu 
gehört, so dem Strahl sein absolut polarer. Wie ein größter Kreis durch 
zwei Punkte bestimmt ist, so eine orthogonale Schar durch zwei Strahlen, 
außer wenn sie absolutpolar sind. Wie zwei größte Kreise sich in zwei 
Gegenpunkten schneiden, so schneiden sich zwei orthogonale Clifford sehe 
Scharen in zwei absolutpolaren Strahlen. 
Ordne ich, jedem Strahl und seinem absolut polaren die orthogonale Schar 
zu, die diese Strahlen zu Hauptachsen hat, so entsteht eine lineare, involu- 
torische Korrelation, denn nach den oben abgeleiteten Eigenschaften gilt: 
Durchläuft der Strahl eine orthogonale Schar, so beschreibt seine zu 
geordnete orthogonale Schar ein Büschel, dessen Grundstrahlen die Achsen, 
also die zugeordneten Strahlen der ersten Schar sind. Eine inyolutorische 
Korrelation in einem zweistufigen Gebilde ist immer die Polarität in bezug 
auf ein Gebilde zweiten Grades erster Stufe. Diese Yerwandtschaft ent 
spricht genau der Zuordnung von größtem Kreis und zugehörigem Pol 
auf der Kugel. 
P)as Parallelennetz gestattet oo 4 Bewegungen in sich, nämlich alle 
Schraubungen um jeden seiner Strahlen. Für die Geometrie des Strahlen 
netzes aber sind zwei Bewegungen als identisch zu betrachten, die durch 
eine Parallelverschiebung längs der Netzstrahlen auseinander hervorgehen. 
So geben die oo 4 Bewegungen des Raumes, welche das Netz in sich selbst 
überführen, nur eine dreigliedrige Gruppe von Bewegungen des Netzes in 
s ich ab. Jede Bewegung dieser Gruppe führt eine orthogonale Schar 
wieder in eine orthogonale Schar über, ihre Hauptachsen in die Haupt 
achsen der neuen Schar; sie führt also die Polarität, die durch die Zu 
ordnung der Netzstrahlen und der orthogonalen Scharen um sie als Achsen 
gebildet wird, in sich selbst über. Die dreigliedrige Gruppe von Be 
wegungen des Netzes entspricht daher genau der Gruppe der Bewegungen 
der Kugel in sich. Wir schließen: 
Im Parallelennetz herrscht die Geometrie der Euklidischen KugelJ) 
1) Hieraus folgert man Studys Abbildung der Liniengeometrie des elliptischen 
Raumes auf die Punktepaare zweier Kugeln. Jahresb. d. D. Math.-Ver. Bd. 11. 
1902. p. 320.