68 
Dritter Abschnitt. 
weil sie nichts anderes ist als die Involution harmonischer Pole von 
qv in bezug auf die imaginäre Kugel; die Punkte A*, A*' bilden ein 
Paar derselben. 
Wenn es nun gelingt, in dieser elliptischen Involution das Paar 
P,P' so zu wählen, daß (A*A*'PP') = (AA'BB') wird, so bilden 
offenbar die Strahlen b, V zwei Fluchtlinien 2q {) , 2(p, welche mit 
1 q 0 , 1 q\\ zur nämlichen Regelschar eines einfachen Hyperboloides ge 
hören. Wenn wir nun zu jedem Punkte P von qv den Punkt P* 
konstruieren, so daß das Doppel Verhältnis (A*A* f PP*) gleich dem ge 
gebenen (AA' BP>) wird, so bilden die Paare PP* zwei projektive 
Punktreihen mit den Doppelpunkten A*, A*'; es handelt sich also in 
letzter Linie um die gemeinsamen Paare dieser Punktreihen und der 
obigen Involution. Nun sind offenbar die Punkte P’ und P durch. 
Vermittlung der Punkte P auch wieder projektiv aufeinander bezogen, 
und wenn nun P eine solche Lage B* annimmt, daß die beiden ihm 
in der Involution und den projektiven Reihen mit den Doppelpunkten 
A* f A*' zugeordneten Punkte P' und P* in einen Doppelpunkt B*' 
der neuen Reihen zusammenfallen, so ist BB* = 2q 0 und B'B*'=2qg, 
und zwar darf man nicht etwa B mit B*' verbinden und B' mit B*, 
weil dann die Doppelverhältnisse, um die es sich handelt, nicht mehr 
gleich, sondern reziprok wären. Es haben nun die Reihen der Punkte 
P' und P* zwei Doppelpunkte, folglich gibt es durch B zwei Flucht 
linien 2q {) , welche der Bedingung genügen, und zwar sind diese beiden 
Fluchtlinien stets reell und verschieden, denn man zeigt leicht, daß es 
in einer elliptischen Involution immer zwei reelle und verschiedene 
Punktepaare gibt, welche mit einem gegebenen Paar ein vorgeschrie 
benes negatives Doppelverhältnis bilden. 1 ) 
x ) Es sei das gegebene Paar dargestellt durch die Gleichung x 2 — a 2 = 0, 
also 0 die Mitte der beiden Punkte. Der Zentralpunkt der Involution liegt eben 
falls zwischen denselben; ist also seine Entfernung von 0 etwa m, so ist m 2 « 2 , 
und es kann die Involution dargestellt werden durch die Gleichung: 
(x 2 — a 2 ) — X(x — m) = 0. I 
Die Gleichung: 
x’x" J \-b(x’ — x") — a 2 = 0 II 
stellt zwei projektive Punkt reihen dar, deren Doppelpunkte von dem Paare a: 2 —a 2 =0 
gebildet werden, denn diese Porm nimmt die Gleichung II an für x' = x", und das 
Doppelverhältnis, welches irgend ein Paar dieser Reihen mit den Doppelpunkten 
bildet, ergibt sich durch eine einfache Rechnung als 
. a — b 
~~ a + b 
und also als negativ für b 2 < a 2 , denn a wird positiv vorausgesetzt. Sollen nun 
die beiden Reihen und die Involution ein Paar gemein haben, so muß / so gewählt