Orthogonalität, Umlegung projizierender und nichtprojizierender Räume usw. 69
Wir wollen das erhaltene Resultat etwas anders formulieren.
Irgend eine beliebige Gerade durch C schneidet B$ in einem gewissen
Punkte B, und durch diesen gibt es eine einzige Gerade qv, welche
lg 0 und l#o schneidet und somit nach dem Obigen zwei Gerade,
welche samt ihren Antipolaren mit 1 q 0 und 1 q% hyperboloidische Lage
haben; also gibt es durch jede den Punkt C enthaltende Gerade des
Operationsraumes, und somit durch jede Gerade desselben überhaupt,
zwei Ebenen, deren Fluchtlinien und Normalebeneniluchtlinien mit 1 q 0
und 1 q% hyperboloidische Lage haben. Was bedeutet nun diese spe
zielle Lage der Fluchtelemente? Es ist (Fig. 25):
(.ÄÄ'JBJB') = (A*A*' B*B*')
und also, indem wir alle acht Punkte mit C verbinden,
(C • AA'BB') = (C • A*A*’B*B*'),
d. h.
oder:
sin • A CB
sin A* CB*
sin • A'CB
sin A*' CB*
sin • AGB'
sin A* CB*'
sin • A’CB'
sin A*' CB*'
sin cp
sin xp
cos cp
cos xp
sin (90° + cp)
sin (90 0 + xp)
sin cp
sin?/;
oder:
tg 2 cp = tg 2 xp;
denn es ist Z A CA' = Z B CB' = Z A* CA*' = Z B* CB*' = 90 0 ,
Z A CB aber = cp und Z A* CB* — xp, und hieraus ergibt sich der
Beweis für die Richtigkeit der obigen Rechnung ohne weiteres. Wir
finden also, weil wir unter cp und xp immer die spitzen Winkel ver
stehen, cp = xp; es ist also die hyperboloidische Lage der
Fluchtlinien zweier Ebenen und deren Antipolaren das Kri
terium dafür, daß die beiden Ebenen zwei gleiche Neigungs
winkel bilden.
Averden, daß die beiden Wurzeln von I die Gl. II befriedigen; löst man nun I
nach x auf und substituiert die beiden Wurzeln in II, so erhält man für l eine
quadratische Gleichung, deren Diskriminante, in der einfachsten Gestalt geschrieben,
die folgende Form annimmt:
D — 46 2 (« 2 — b 2 ) (a 2 — m 2 )
und also positiv ist, Aveil a 2 > b 2 und a 2 m 2 . Es sind also die beiden / immer
reell und verschieden, so daß es zAvei reelle und A r erschiedene gemeinsame Paare der
projektiven Reihen und der Involution gibt.
