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Dritter Abschnitt. 
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Sobald die vier Fluchtlinien auf einem Hyperboloid liegen, be 
sitzen sie nicht bloß zwei, sondern unendlich viele Transversalen, deren 
jede die Fluchtlinie einer Ebene ist, welche die beiden gegebenen halb 
senkrecht schneidet und folglich einen Neigungswinkel enthält; die 
Doppel Verhältnisse aber, welche von den 4 Fluchtlinien in alle diese 
Transversalen eingeschnitten werden, sind gleich groß, und daraus 
ergibt sich genau wie oben, daß alle diese Neigungswinkel einander 
gleich sind; haben also zwei Ebenen zwei gleiche Neigungs 
winkel, so haben sie deren unendlich viele; dieselben sind 
aber alle gleich groß. 
Die Ebenen aller dieser Neigungswinkel bilden einen dreidimen 
sionalen Raum, der aber nicht mehr linear ist, denn er schneidet Ri! in 
einem Hyperboloid; irgend eine durch G gehende Ebene ergibt in R{ J 
eine Spur, welche mit diesem Hyperboloid zwei Punkte gemein hat, 
woraus folgt, daß die Ebene selbst den Raum in zwei durch C gehen 
den Geraden schneidet; es ist dieser Raum also ein sogenannter 
quadratischer Kegelraum, und man könnte ihn hyperboloidisch nennen, 
weil er von einem ebenen Raume, wie Rg, immer in einem Hyper 
boloid geschnitten wird. Es besitzt nun aber das Hyperboloid noch 
eine zweite Schar von Geraden, und es besitzt also der Kegelraum 
noch ein zweites System von Ebenen; nach den obigen Entwickelungen 
ist es erstens klar, daß je zwei Ebenen dieses zweiten Systems gleich 
winklig sind, d. h. zwei gleiche Neigungswinkel haben, und daß die 
Neigungswinkel immer getragen werden von den Ebenen des ersten 
Systems, dann aber auch, weil die beiden Regelscharen völlig gleich 
wertig sind, daß auch je zwei Ebenen dieses ersten Systems gleich- 
Avinklig sind, und daß ihre Neigungsebenen nichts anderes sind als die 
Ebenen des zweiten. 
Wir wenden uns zu einer andern Frage. Es sei die Gerade 1 g 0 , 
das heißt also die Ebene Clq 0 oder le, und ihre vollständig normale 
C1 (R oder 1 e” gegeben; wieviele zur ersten gleichwinklige Ebenen 
(durch C) gibt es und wie liegen dieselben? 
Zunächst bemerken wir, daß eine Ebene, welche gleichwinklig ist 
zu le, auch gleichwinklig ist zu le”, denn die Neigungswinkel mit 
der letzteren sind die Komplemente derjenigen mit der ersteren; dann 
aber beachten wir folgendes: wenn irgend eine Ebene 2e (durch C) 
gegeben ist, so bildet dieselbe mit le zwei Neigungswinkel cp und yj, 
deren Schenkel je die Projektion des andern auf die betreffende Ebene 
sind. Es kann nun 2s um le rotieren; denn durch jeden Punkt P 
von 2e geht eine Ebene vollständig normal zu le (nämlich || le”), und 
diese schneidet le im Fußpunkte Q des aus P auf le gefällten Per