Orthogonalität, Umlegung projizierender und nichtprojizierender Räume usw. 73
zwei solche Systeme, entsprechend den beiden Regelscharen jedes
Hyperboloids. Gehören zwei Ebenen zum nämlichen Kegelraum, also
ihre Fluchtlinien zum nämlichen Hyperboloid, so ist leicht zu ent
scheiden, ob sie zum nämlichen Systeme gehören oder nicht; im ersten
Falle sind die Fluchtlinien windschief, im zweiten schneiden sie sich;
aber wenn die Ebenen zu verschiedenen Winkeln gehören, so sind die
Fluchtlinien immer windschief, denn zwei Neigungshyperboloide haben
keine reellen Punkte gemein; es fragt sich also, wie in diesem Falle
die Zusammengehörigkeit oder Nichtzusammengehörigkeit konstatiert
werden kann. Um hierüber Klarheit zu gewinnen, bemerken wir, daß
es noch eine andere Gruppierung der Fluchtlinien der zu Itf gleich
geneigten Ebenen gibt als nach der Größe des Neigungswinkels cp,
die tatsächlich schon beim Studium der Figur 25 hervorgetreten ist,
und die wir hier in spezieller Form wiederfinden. Die Fluchtlinie
von itf selbst ist offenbar ihre unendlich entfernte Gerade g^, die
jenige ihrer vollständig normalen Ebene ist C x 0 2 ; ist nun q 0 die Flucht
linie irgend einer zum Winkel cp gehörigen und zu Pf gleichgeneigten
Ebene, ihre Antipolare, so liegen den Erörterungen am Anfänge
des jetzigen Paragraphen zufolge die vier Geraden g^, C x C 2 , r/ 0 , q¡¡
auf einem Hyperboloid, welches also hier die Gestalt eines hyper
bolischen Paraboloides annimmt; sämtliche Gerade derjenigen Regel
schar, zu der auch g^ gehört, sind die Fluchtlinien von zu verschie
denen Winkeln gehörigen, aber zu itf gleichgeneigten Ebenen, und
sämtliche Gerade der andern Schar, die hier also parallel Pf ver
laufen, sind die Fluchtlinien der zugehörigen Neigungsebenen; und das
Prinzip der Gruppierung, das wir hier befolgt haben, ist also dieses,
daß wir alle diejenigen zu gleichgeneigten Ebenen zusammen
genommen haben, deren Neigungswinkel in den nämlichen Ebenen
enthalten sind; es ist klar, daß alle diese Ebenen samt ihren Neigungs
ebenen wieder einen quadratischen hyperboloidischen Kegelraum er
füllen, ähnlich wie oben schon. Wir zeigen nun, daß wenn q 0 um
C X C 2 rotiert und also die eine Regelschar des zum Winkel cp ge
hörigen Neigungshyperboloides durchläuft, das hyperbolische Paraboloid
ein Büschel erzeugt.
Zunächst wissen wir, daß alle hier in Betracht kommenden Para
boloide die beiden Geraden g^ und C x C 2 gemein haben;, wir zeigen
nun, daß sie noch zwei andere Gerade gemein haben, welche die
beiden zuerst genannten schneiden.
Die Neigungshyperboloide bilden ein Büschel (§ 6), dessen Basis
kurve aus den vier imaginären Schnittlinien der beiden durch C X C 2
hindurchgehenden isotropen Ebenen x 2 -]- y - — 0 mit den beiden zu