Orthogonalität, Umlegung projizierender und nichtprojizierender Räume usw. 77 
x 0 und umgekehrt derjenige des Bildes das umgelegte Original in (P) 
auf (o), und genau das nämliche gilt, wenn wir die Gerade durch eine 
Ebene ersetzen, kurz von allen oben aufgestellten Gesetzen der zen 
trischen Kollineation bis auf eines zeigt sich unmittelbar, daß sie durch 
den Prozeß der Umlegung nicht zerstört werden; zweifelhaft aber bleibt 
es, ob auch in der Umlegung je zwei entsprechende Punkte immer 
auf einer Geraden durch (C) liegen. Daß nun auch diese letzte Be 
ziehung erhalten bleibt, ergibt sich aus folgender Überlegung. Es ist 
der Punkt (C) ein beliebiger Punkt von 1VJ; wir können ihn also wie 
jeden andern Punkt von Bg als die Nullprojektion eines gewissen 
Punktes A aus dem Originalraume B 3 auffassen, denn wir haben, um 
diesen Punkt A zu erhalten, nichts weiter zu tun, als die Verbin 
dungslinie (C)C mit B 3 zu schneiden. Es erhalten nun die Geraden 
von B 3 durch A eine eigentümliche Eigenschaft sobald sie umgelegt 
werden, denn ihre Nullprojektion geht durch (C), und wenn man nun, 
um die Umlegung zu finden, (0) mit Q 0 verbindet und durch S 0 die 
Parallele dazu zieht, so erhält man die nämliche Gerade wieder, denn 
S 0 , Q 0 und (0) liegen in gerader Linie. Wir finden also: Die 
jenigen Geraden des R 3 , deren Nullprojektionen durch das 
umgelegte Zentrum gehen, fallen in der Umlegung mit ihrer 
Projektion zusammen. 1 ) 
Diese Geraden nun werden die Kollineationsstrahlen für die Um 
legung; denn wenn wir nun irgend einen Punkt P des P 3 als den 
Schnittpunkt einer beliebigen Geraden g dieses Raumes und einer Ge 
raden a durch A auffassen, so ist P 0 der Schnittpunkt von g 0 mit 
der durch (C) gehenden a 0 , und (P) derjenige von (g) mit (a), aber (a) 
und a 0 sind identisch, folglich liegen P 0 und (P) in der Tat auf einer 
Geraden durch (C). Es bleibt also auch diese letzte Beziehung be 
stehen, und man konstruiert also die Umlegung einer im 
Operationsraume liegenden dreidimensionalen Figur als das 
zentrisch - kollineare Modell zur Nullprojektion derselben. 
Es wäre nun hier der Ort, um aus den Fundamentalbeziehungen 
der zentrischen Kollineation die projektive Geometrie des vierdimen 
sionalen Raumes herzuleiten, allein darauf gehen wir hier nicht ein; 
andererseits wäre hier auf die möglichen Spezialfälle hinzuweisen, aber 
auch von diesen betrachten wir nur den wichtigsten, nämlich den Fall 
der involutorischen Kollineation. Legen wir durch C die vollständig 
normale Ebene etwa zu a 0 , so ist dieselbe natürlich auch vollständig 
normal zu den dazu parallelen g, x 0 , r, und die vier Schnittpunkte 
*) Vgl. W. Fiedler, 1. c. S. 29.