Multiplikation und Division ganzer Zahlen. 
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In einem Produkt mehrerer Zahlen kann man beliebige Faktoren 
durch ihr fertiges Produkt ersetzen. Um das Produkt mehrerer 
Faktoren mit einer Zahl zu multiplizieren, kann man einen dieser 
Faktoren mit der betreffenden Zahl multiplizieren. 
Jede Zahl, die als das Produkt einer Zahl A mit einer natür 
lichen Zahl*) angesehen werden kann, nennt man das Vielfache von A. 
10. Sind zwei Zahlen A und B gegeben, von denen die erste 
Dividend und die zweite Divisor (Teiler) heißt, so hat die Divison 
von A durch D zum Zwecke: 1. zu wissen, wie oft man D von A 
abziehen kann oder, wie man sich ausdrückt, zu wissen, wie oft D 
in A enthalten ist; die Zahl, die dieses „Wie oft“ angibt, ist der 
Quotient der Division von A durch D; 2. zu wissen, welche Zahl 
übrig bleibt, wenn man diese Subtraktion ausgeführt hat: diese Zahl 
ist der Best der Division. 
Will man z. B. 189 durch 12 dividieren, so stelle man sich einen 
Haufen von 189 Kugeln vor, von dem man die Kugeln in Mengen 
von je 12 Stück wegnimmt und jedesmal in eine besondere Urne 
schüttet. Diese Operation setzt man so lange fort, bis weniger als 
12 Kugeln übrig bleiben; die Zahl der Urnen, von denen jede 12 Kugeln 
enthält, ist der Quotient, sie ist in diesem Falle gleich 15, und es 
bleiben 9 Kugeln übrig; der Rest ist gleich 9. Es ist klar, daß der 
Dividend (189) gleich ist dem Produkt des Divisors (12) mit dem 
Quotienten (15) -f- dem Rest (9). Man kann sagen, daß die Division 
von A durch D bezweckt, A unter die Form einer Summe zu bringen, 
deren zweites Glied, der Rest, kleiner ist als der Divisor, und deren 
erstes Glied das größte Vielfache des Divisors ist, das nicht über den 
Dividend hinausgeht: dieses erste Glied ist das Produkt des Divisors 
mit dem Quotienten. 
Wenn der Divisor D größer ist als der Dividend A, so ist der 
Quotient 0 und der Rest gleich dem Dividend. Wenn der Divisor 0 
wäre, hätte die Operation keinen Sinn. 
11. Ist der Rest einer Division 0, so ist der Dividend gleich 
dem Produkt des Divisors mit dem Quotienten: man sagt in dem 
Falle, daß die Division auf geht, und den Quotienten bezeichnet man 
als genau. Der Dividend ist dann ein Vielfaches des Divisors; man 
sagt auch, daß er durch den Divisor teilbar ist. 
*) Ich bezeichne als natürliche Zahl irgendeine beliebige unter den Zahlen 
1, 2, 3, . . . mit Ausnahme von 0. Wenn ich ganze Zahl sage, schließe ich 0 
nicht aus; übrigens wird die Bezeichnung ganz auch auf die negativen Zahlen 
angewendet werden.