Äquivalente Gleichungen. 
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von 0 verschiedenen Zahl multipliziert. Man sieht gleich, daß, wenn 
die erste Gleichung für irgendeinen Wert der Unbekannten richtig 
ist, dies auch von der zweiten gilt. Übrigens kommt man von der 
zweiten Gleichung auf die erste, indem man die beiden Seiten mit 
dem umgekehrten Wert derjenigen Zahl multipliziert, mit der man 
die beiden Seiten der ersten multipliziert hat; also ist, wenn die 
zweite für einen gewissen Wert der Unbekannten richtig ist, die 
erste es auch, und die beiden Gleichungen sind äquivalent. Der Fall, 
wo die Zahl, die man als Multiplikator gebraucht, 0 ist, ist auszu 
schließen, weil dann die zweite Gleichung auf die sinnlose Gleichheit 
0 = 0 herauskäme; man könnte natürlich nichts daraus ableiten, in 
dem man die beiden Glieder mit dem umgekehrten Wert von 0 
multipliziert, weil dies keinen Sinn hat. 
Auf den Fall, wo man die beiden Seiten nicht mehr mit einer 
konstanten, von 0 verschiedenen Zahl, sondern mit einem Ausdruck, 
der die Unbekannte enthält, multipliziert, will ich nicht eingehen; 
ich begnüge mich, darauf hinzuzeigen, daß die Schwierigkeit dieses 
Falles gerade in dem Umstand begründet ist, daß dieser Ausdruck 
und sein umgekehrter Wert sich gegenseitig auf heben oder überhaupt 
auf hören können, für gewisse Werte dieser Unbekannten einen Sinn 
zu haben. 
Im Vorhergehenden habe ich nur von einer Unbekannten ge 
sprochen; aber es ist klar, daß die bewiesenen Sätze auch für die 
Gleichungen mit mehreren Unbekannten richtig sind. 
Man sieht direkt, daß, gemäß diesen Sätzen die Gleichungen (1) 
und (2), (2) und (3), (3) und (4) äquivalent sind; ohne die Probe zu 
machen, ist man sicher, daß 2,5 die einzige Lösung der Gleichung (1) ist. 
Ist eine Gleichung gegeben, so kann man ein Glied von einer 
Seite auf die andere bringen, indem man das Vorzeichen dieses Gliedes 
ändert; denn das ist im Grunde genommen dasselbe, wie wenn man 
den beiden Seiten der Gleichung den symmetrischen Wert dieses Gliedes 
hinzufügte. So z. B. ist die Gleichung (2) äquivalent mit der Gleichung 
Ix —■3# = 3;r-j-10 — 3#, 
die man erhält, indem man —3# zu den beiden Seiten addiert, 
d. h. äquivalent mit der Gleichung 
Ix — 3 x = 10. 
Man hat das Glied 3 x von der zweiten auf die erste Seite ge 
bracht, indem man sein Vorzeichen geändert hat. 
133. Setzt man so alle Glieder, die x enthalten, auf eine Seite