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Kongruenz der Dreiecke. Sätze über Parallelen. 79 
Winkel. Die Summe eines der vier letzten und eines der vier ersten 
Winkel beträgt zwei reckte Winkel. Betrachten wir umgekehrt in 
einer Ebene zwei Geraden (M), (B) und eine Schnittlinie (C) } so kann 
man, wenn zwei der durch Kreisbogen bezeich 
neten Winkel, die nicht Scheitelwinkel sind, 
gleich sind, oder auch zwei der unbezeichneten 
Winkel, die nicht Scheitelwinkel sind, behaup 
ten, ’ daß diese beiden Geraden (Ä), (B) parallel 
sind. Der direkte Satz dient im besonderen dazu, 
zu zeigen, daß in jedem Dreieck die Winkel 
summe gleich zwei Rechten ist: er läßt folgende 
Verallgemeinerung zu: zwei Winkel, deren Seiten 
parallel sind und dieselbe Richtung haben, oder 
parallel sind mit entgegengesetzter Richtung, 
sind gleich. Sind zwei Seiten parallel und von derselben Richtung 
und zwei Seiten parallel und von entgegengesetzter Richtung, so ist 
die Summe der beiden Winkel gleich zwei Rechten. 
139. Das Verfahren, Parallellinien zu ziehen, beruht bekanntlich 
darauf, daß, während eine Seite des Winkelhakens längs eines fest 
aufgelegten Lineals sich verschiebt, die andere Seite einer fest ge 
gebenen Richtung parallel bleibt. Inwiefern der obige Satz dieses 
Verfahren, zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt 
eine Parallele zn legen, rechtfertigt, will ich hier nicht ausdrücklich 
erörtern; es sei nur bemerkt, daß die Eigenschaft, die in demselben 
formuliert wird, sich nicht nur auf die Seiten des Winkelhakens be 
zieht, sondern überhaupt auf jede Gerade, die auf diesen Winkelhaken 
gezeichnet und von seiner Bewegung mit fortgenommen wird. Bei 
dieser Bewegung beschreibt jeder Punkt des Winkelhakens eine Pa 
rallele zu der Geraden, auf der der Winkelhaken sich verschiebt. 
Alle Punkte des Winkelhakens beschreiben, indem sie so von einer 
Stelle zur andern rücken, Stücke von parallelen Geraden, weLche 
gleiche Richtung und gleiche Länge haben, d. h. äquipollente Vek 
toren (Kr. 82). Man sagt dann, der Winkelhaken habe eine Ver 
schiebung erlitten, die einem beliebigen der von den verschiedenen 
Punkten beschriebenen Vektoren gleich ist. Endlich ist es klar, daß 
diese Eigenschaften nicht notwendig mit der dreieckigen Form des 
Winkelhakens Zusammenhängen und daß sie bestehen bleiben für 
irgendeine beliebige Figur, in der eine Gerade sich auf einer festen 
Geraden verschieben würde. 
140. Es genügt, daran zu erinnern, daß ein Barallelogramm ein