BEMERKUNGEN ÜBER DIE ANALYTISCHEN FACULTÄTEN. 
99 
und 
(57.) 
[u, —xf 
(u + x)(u + 2x) (u -f yx) ’ 
wenn y eine ganze positive Zahl ist. 
Setzt man nun in der Formel (47.) 
-y. 
o h U , 
so erhält man 
(58.) 
oder vermöge (39.) 
(59.) 
oder 
(60.) = 1+2/. —r- 
' [u, —xf U—yx+x 
U + Jc 
) 
<-» 
U -\~Je 
y n 
T ,, JC U , , 
[m + Je, —xf 
[u,-xf 
Je (Je—x) 
~^ 2 (u—yx+x)(u—yx+2x) ' ' ' Jn [u—yx+nx,—x\ 
'4 Vy n 
[Je, -xf 
n +' 
woraus endlich (nach 55, 56) 
(61.) [u +Je,— xf = [u,- xf + y x [u, - xf- 1 [Je, - x] 1 + • • • • + y n [u, - xf~ n [7c, - xf + ••••. 
Diese Reihen (60, 61) convergiren, wenn y — a — ß = ^~ +1 positiv ist. 
Die Formel (61.) hat die grösseste Aehnlichkeit mit der Binomial-Formel 
(62.) (u + Jcf = u J + y, u !/ 1 Je + • • • • + y n w 1 Je H + • * •, 
welche aus ihr hervorgeht, wenn man x — 0 setzt. Ebenso stellt sich die 
Aehnlichkeit der Formel (40.) mit derselben heraus, wenn man der letzteren 
die Form 
Je Je 2 
(63.) 
/ iw v[-, 7c Je 2 Je" ) 
[u + Jef = u —+ ... + */» —+ ...j 
giebt. Diese Analogie der Facultäten und der Potenzen würde aber, wie aus 
der vorhergehenden Darstellung erhellt, verloren gehen, wenn man hinsichtlich 
der Functionen <{;, cp eine andere Bestimmung träfe. Die Reihe (40.) für 
(u + Je, + xf würde alsdann noch mit dem Factor 
u -p Je 
♦c 
+ y ? 
© 
und die Reihe (61.) für [u + Je, — xf noch mit dem Factor 
13*