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BEITRAG ZUR THEORIE DER ABEL SCHEN INTEGRALE. 
1. 
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Es sei R(x) eine ganze Function von «r; «, b seien irgend zwei Wurzeln 
der Gleichung R(x) = 0, und es werde 
(1.) 
£ R(x) — R(y) 
2 
1 R’(x) + R'(y) 
(x — yf 
x-y 
F(x, y) 
gesetzt, wo R'(x), R\y) die ersten Differential - Coefficienten von jR(a?), R(y) 
bedeuten, so dass, wie man sich leicht überzeugt, F(x, y) eine g anz e Function 
von a?, y ist. Alsdann gilt als ein besonderer Fall des angeführten Abel’schen 
Theorems die folgende Gleichung, in welcher «, ß irgend zwei bestimmte 
Werthe der Veränderlichen a?, y bezeichnen: 
(2.) \JW) f ß —\[R(F) r ^=- = 2 f* f ß 
W v X (y-a)\IS(t/) Ja (x-ß)\jB{x) J a J b \JR(x) \[R{y) 
Als nothwendige Bedingung des Bestehens dieser Gleichung ist noch 
hinzuzufügen, dass innerhalb der Grenzen der Integration x—y nicht gleich 
Null werden darf. 
Es ist nämlich 
d \jR{cc) i'l R'(x) + R(x) ^ 1 
dx y-x ~ \2 y-x + (y-x) 2 )' \jR(x)’ 
d V-R(y) = /1 R'(y) R(y) \ 1 
dy x-y \2 x-y + (x-y) 2 ) \lR(y)’ 
d \jR(x) d \jR(y) 2F(x, y) 
also 
dx (y—x)\jR(y) dy (x—y) \¡R(x) \jR(x) \jR(y) ’ 
‘ ß d \/R(ÿ) 
r f ß = r% r* -Jim f% r 1 
Ja Jb V^PV-RW Jb J a dx {y-x)MR{y) J a J b 
dy (x-y)\lR(x) 
= V/Bp f ß %=-\¡R(f) f“ — L . 
Jb (ÿ-«)VB(ÿ) -4 (X-Í¡)\IR(X) 
dy 
Es sei nun 
B{x) = 0v-a 1 )(z-a 2 )...(x-a 2n+1 ]) 
und es werde zunächst angenommen, dass die Grössen a t1 ... sämmtlich reell 
und so geordnet seien, dass 
a, < a, 
‘2 tl+V 
I. 
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