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BEITRAG ZUR THEORIE DER ABEL’SCHEN INTEGRALE. 
Alsdann hat !?(#), wenn x zwischen den Grenzen « u , a^ +i enthalten ist, 
wo y irgend eine der Zahlen 1,2,... 2n bedeutet, dasselbe Zeichen wie 
(— l) u_1 , so dass man setzen kann 
SjRix) = 
wo \J{— l)' u_1 ii(a;) den positiven Werth der Quadratwurzel aus der positiven 
Grösse (— iy* _1 .R(a?) bezeichnen soll. Liegt x zwischen —oo und a t1 so hat man 
\jR(x) = ± i^—R(x), 
und wenn x zwischen a 2u+1 und +oo enthalten ist, 
\jR{x) = ±'J+jR(x). 
Um nun einem 
Integral wie 
eine ganz bestimmte Bedeutung zu 
gehen, werde für das Folgende festgesetzt, dass bei der Integration von 
den beiden Werthen, welche \jR(x) hat, immer derjenige in Anwendung 
kommen soll, den man erhält, wenn man in den vorstehenden Formeln das 
obere Zeichen nimmt. 
Dies festgestellt, setze man in der Gleichung (2.) a — a u1 b = a y und 
nehme zunächst an, dass v>y + 1, aber <2w+l sei, so darf man # = a u+i , 
ß = a y+i nehmen, weil in diesem Fall die Diiferenz x—y innerhalb der Grenzen 
der Integration nicht gleich Null wird. Die linke Seite wird alsdann gleich 
Null, und man erhält demnach 
(3.) 
«v+i F(x, y) dx dy 
\lR(x) \jR{y) 
= 0. 
Wenn aber v = y + 1, so kann man den Werth des Doppel-Integrals 
j'fy+i j' a v+ 
a ,u + l 
‘V+ï F (x, y)dxdy 
sjR{x)\Jlf(i) ’ 
welches durch S bezeichnet werden möge, mit Hülfe der Gleichung (2.) nicht 
direct auf dieselbe Weise ermitteln; man gelangt jedocli dazu auf folgendem 
Wege. 
Es werde a^ durch «, a u+i durch c, a t+s durch b bezeichnet, so ist 
F(x, y)dxdy 
\jR{x) VR{y)