120 BEITRAG ZUR THEORIE DER ABEL’sCHEN INTEGRALE. 
Für n = 1 ergiebt sich, wenn man a?, u, p für w 1? p t schreibt, 
' x \\Ja 2 —a l .dx 
woraus 
p = \ßEK t 
dp 
7c 2 = 
a a — a. 
folgt, so dass p = sin am u, oder nach Gudermann’s kürzerer Bezeichnung 
(Theorie der Modular-Functionen) p = snw ist. In Erweiterung dieser letzteren 
Bezeichnung setze ich 
sowie ferner 
p a = Sn(M lf «„ ... «Ja» 
, *^"2) • • * ( CT 2a *^n) 
Cn(M lf ... 
(q 8n+1 -a; 1 )(a 2w+1 -a; a )*..(a 2 
— 1 — = dn(Mj, w 2 , ... w M ). 
^ v B(« 2 , +1 ) 
Auf diese Weise sind in die Theorie der Abel schen Transcendenten (2n + l) 
Functionen eingeführt, welche mit den drei elliptischen Functionen 
sin am w = snw, cos am m = cn«, Aamw = dnw, 
in welche sie für n — 1 übergehen, eine grosse Aehnlichkeit haben. So z. B 
lässt sich sn(w + v) rational durch snw, 
der Formel 
snw 2 — sntt 2 snw 2 — sntf 
sn v -> ~ d T V - ausdrücken vermittelst 
au ’ ’ av 
sn(w + «;) = 
d sn v dsnu 
sn w —^—• — sn V 
sn w cn v dn v — sn v cn w dn w ’ 
dv 
du 
und ähnliche Formeln gelten für cn (w + v) und dn(u + v). Für die angege 
benen Functionen mehrerer Veränderlichen aber hndet man, 
fl 2a —a 2a-i 
setzend: 
2g a 
= e n 
(7.) (sn (w 1? w 2 ,.. t ) a j. sn (y>—)° _ sn („ w „ t> .. ,) Q dsn Sü^j.il“ ) ^. sn ( Mi + Vit u 3 +v„.. .) 0 
= ..Oö-sn 2 ^!,?;,,...^). 
Setzt man in dieser Gleichung b der Reihe nach gleich 1, 2, ... w, so erhält