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BEITRAG ZUR THEORIE DER ABEL SCHEN INTEGRALE. 
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u i: u 2 , ... u n unabhängiges Glied yorkommen darf. Für den Fall der ellip 
tischen Functionen hat man 
J(u) = j 
du 
sn u 
während man gewöhnlich die elliptischen Integrale zweiter Art auf die 
Function jdiiu.du zurückführt, was keinen wesentlichen Unterschied macht. 
Für die Abel’sehen Integrale zweiter Art haben aber die hier gewählten 
Formen den Vorzug, dass sich viele Formeln einfacher gestalten, als es der 
Fall sein würde, wenn man, was ohne Schwierigkeit angeht, Functionen von 
u y . w 2 , ... einführte, welche dem angeführten elliptischen Integral conform sind. 
Man bezeichne nun 
ï, kein tí 
f a * h a m- a 2a-i F a (x)dx 
durch 
F a , 6 , 
(15.) 
A-, * _a “- V-Bc*) 
»a «tira h 
i a2h+1 a 2a -a 2a _ t F a (x)dx 
durch 
F a ,h 
iui i» toé i- 
A *-°»- V-RW 
i 
¡i* taeptra A 
und 
Trie ìieser Ver- 
C= M 
Ifiibt, mi 3 te 
(16.) 
2 'A.c — ^o.bF ^0,6+1 d t'A,« 
c = b 
durch 
Fi,, 
so erhält man 
2,7i 2 bestimmte Integrale J a>b1 
/ a ' i6 , welche 
der Legendre’sehen Benennung vollständige Abel’sche Integrale zweiter Art 
nennen kann, und die in der Theorie der Abel’schen Transcendenten die 
selbe Bedeutung haben wie die Grössen 
K-E, E\ 
auf welche sie sich für n = 1 reduciren, für die elliptischen Functionen. 
Während z. B. 
J(u) = Í — ÍId sn 2 u. du 
. / SIT „ / 
*- / n «Al 
cn u dn u 
SnM 
-/< 
u— i dn 2 u. du 
A) 
en u dn u 
sn«i 
und daher, wenn nt, tt ganze Zahlen sind, 
J(u + 2mK+ 2nK'i) = J(u) + 2m (A— E) + 2rtF'* 
ist, so erhält man, wenn man setzt 
i 
16 
H. l