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BEITRAG ZUR THEORIE DER ABEL SCHEN INTEGRALE. 
(13.) so...*,',» = sc?.,**;,.. 
c C 
Diese Gleichung ist besonders bemerkenswert!!, weil in ihr nur Abel’scbe 
Integrale der ersten Gattung Vorkommen. 
Bezeichnet man den Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung 
durch H ab , wo dann 
(14.) Ifa.b 
ist, so erhält man noch 
(15.) K h = S^co^c.b* 
Durch die hier entwickelten Formeln wird übrigens auch der Beweis 
geliefert, dass die (2n 2 —n) Gleichungen (1, 2, 3, 4) unabhängig von einander 
sind, d. h. dass keine von ihnen eine Folge der übrigen ist. Dies wird der 
Fall sein, wenn sich sämmtliche in denselben vorkommende An Grössen durch 
(2n 2 + n) andere, willkürlich angenommene, ausdrücken lassen. 
Nimmt man nun aber die n 2 Grössen K a>b willkürlich, die durch F ütb , 
H ab bezeichneten aber so an, dass den Bedingungs-Gleichungen (10, 14) Ge 
nüge geschieht, und drückt dann durch diese Grössen, deren Anzahl (2«‘ + w) 
ist, vermittelst der Formeln (11, 12, 15) J ab , J' a<b) K^ b aus, und substituirt 
die so erhaltenen Ausdrücke derselben in die Gleichungen (1,2, 3,4), so 
überzeugt man sich mit Hülfe der Relationen (6, 7) leicht, dass in jeder 
dieser Gleichungen die linke Seite identisch gleich Null wird. 
Es ist bei den vorstehenden Entwickelungen ausdrücklich angenommen 
worden, dass a t , ... a 2n+l , die Wurzeln der Gleichung F{x) = 0, sämmtlich 
reell und ihrer Grösse nach geordnet seien. Gleichwohl behalten die ge 
wonnenen Resultate unverändert und ohne Ausnahme ihre Gültigkeit, wenn 
auch diese Bedingungen nicht erfüllt sind; es bedarf alsdann nur einer ge 
eigneten Modihcation der in § 1 getroffenen Bestimmungen hinsichtlich der 
Aufeinanderfolge der genannten Wurzeln und der Festsetzung desjenigen 
Werthes von sjRjx), der bei jeder einzelnen Integration genommen werden 
muss. Ich kann jedoch, des beschränkten Raumes wegen, in nähere Erörte 
rungen über diesen Gegenstand nicht eingehen. Ebenso muss ich es mir ver 
sagen, über den in der Einleitung erwähnten Gebrauch der entwickelten Re-