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ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN. 
ausgedrückten Eigenschaften der Potenz w y , in welche f{u,x,y) für x = 0 
übergeht, so analog, dass die genannten Mathematiker sich berechtigt hielten, 
die Existenz einer analytischen Function f(u,x,y) anzunehmen, welche für 
jeden positiven ganzzahligen Werth von y durch das obige Product dargestellt 
werde, aber ebenso wie die Function u y für beliebige Werthe von y eine 
Bedeutung habe und den Gleichungen (a) bis (e) genüge. Für diese hypo 
thetische Function schlug Kramp die Benennung »Facultät« und die Be 
zeichnung 
vor; u nannte er die Basis, x die Differenz und y den Exponenten der Fa 
cultät. Der von ihm unternommene Versuch jedoch, eine Theorie dieser 
Function aus den vorausgesetzten Eigenschaften derselben abzuleiten, ist längst 
als ein gänzlich verfehlter erkannt. Eine Function, wie sie sich Kramp unter 
u y\* vorstellte, giebt es gar nicht; denn die Gleichungen (a) bis (e) sind 
nicht mit einander vereinbar, wenn y keine ganze Zahl ist. Ausserdem hat 
Kramp bei seinen Deductionen den Fehler begangen, dass er aus der Gleichung 
(e) schloss, es sei 
Lim ti y x = u y t 
X= 0 
in welcher Weise auch x sich der Grenze Null nähern möge — eine An 
nahme, die sich als unzulässig herausstellt, wie ich im Folgenden (§ 2) zeigen 
werde. 
Ungeachtet der Unhaltbarkeit der Kramp'sehen Facultäten-Theorie wurde 
indessen der Grundgedanke derselben, angemessen modificirt, von anderen 
Mathematikern als Ausgangspunkt für neue Untersuchungen aufgenommen. 
Bessel*) suchte die Widersprüche, in welche Kramp sich verwickelt hatte, 
dadurch zu vermeiden, dass er zur Definition der Facultät u yx von den obigen 
Gleichungen (a) bis (e) nur die erste, zweite und vierte benutzte: 
j u^^u^u + yxy 1 '*, 
(i) j U 1 '* = M, 
(g) u y,x = (u + yx-x)* l ~*, 
ausserdem aber, seine Untersuchung auf reelle Werthe der Veränderlichen 
*) Königsberger Archiv für Naturwissenschaft und Mathematik, Jahrg. 1812, St. 3.