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ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN. 
dehnen. Ein Uebelstand ist es ferner, dass die obige Gleichung (c) für 
Bessel’s Facultät nur gilt, wenn k eine positive Grösse ist, während doch die 
Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung auch für negative Werthe von k 
bestimmte Werthe haben. 
Abweichend von Bessel hat Cr eile*) von den obigen Gleichungen (a) bis 
(e) die drei ersten als die Grundgleichungen hingestellt, aus denen sich die 
ganze Theorie der analytischen Facultäten ableiten lasse. Dies ist aber keines 
wegs der Fall; denn die genannten Gleichungen sind zwar, wie im Folgenden 
(§ 1) nachgewiesen wird, mit einander vereinbar, reichen aber zur Be 
stimmung der Function f(u, x,y) gar nicht aus. 
Es sei nämlich f^u, x, y) irgend eine bestimmte, den in Hede stehenden 
Gleichungen genügende Function, so werden die Gleichungen (a), (c) auch 
befriedigt, wenn man, unter cp(k) eine willkürlich anzunehmende Function von 
u verstehend, 
f(u,x,y) = 
setzt. Damit nun f(u,x,y) auch der Gleichung (b) genüge, braucht die 
Function <p(«) nur so angenommen zu werden, dass 
oder für jeden Werth von u 
<p {u + 1) = 9 («) 
ist; man kann also z. B. für cp(w) eine willkürliche Function von cos(2w~) 
und sin (2wir) nehmen. 
Es giebt hiernach unendlich viele Functionen /’(w, x ) y), welche 
den Gleichungen (a), (b), (c) genügen. 
Wenn also Crelle aus diesen Gleichungen allein völlig bestimmte Dar 
stellungen einer denselben genügenden Function /‘(w, ¿f, y) abgeleitet hat, so 
*) Theorie der analytischen Facultäten, 1824. 
Mémoire sur la théorie des puissances, des fonctions angulaires et des facultés analytiques, 1831. 
(Ursprünglich im 7. Bande des Crelle’schen Journals erschienen.)