176 
ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTATEN. 
(IV.) Auch wenn die Glieder der unendlichen Reihe 
u \ > •• 
complexe (imaginäre) Werthe haben und die Reihe unabhängig von 
der Anordnung ihrer Glieder eine endliche Summe hat, nähert 
sich das Product 
P» = ( 1 + W 0 )(l + 2< l )...(l + « M ) 
wenn n ohne Ende wächst, einer bestimmten Grenze, die von Null ver 
schieden ist, wofern nicht eine der Grössen u o , ... gleich —1 ist. 
Es werde u n = v n + iw n und 
(1 + «O (1 + wj... (1 + u n ) = p n + iq n , 
Stä + Qn = s n 
gesetzt, wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. Dann hat man: 
= VG + v oY + K• VT 1 + + < Vi 1 + *>«)* + < • 
Nimmt man nun m so gross an, dass für jeden Werth von n, welcher ^ in 
ist, die Summe der absoluten Beträge von v n und w n kleiner als 1 ist, so 
kann man 
Vi 1 + v nf + w n = l + 
setzen, wo e tl dasselbe Zeichen wie w n hat, dem absoluten Betrage nach aber 
kleiner als 1 ist. Bezeichnet man darauf den absoluten Betrag von v H 
durch v' n , so liegt wenn n > m ist, zwischen den Grenzen 
b)i+i E «i+i ^«1+1 ) ( ^ ^«i+2 
und 
(1 + b«+i P c m+i ^«1+1) (l K 
W m+i) (1 + V n + e * **„) • 
•m+i M/ »i+i 
Beide Producte nähern sich aber, wenn n ohne Ende wächst, zufolge des 
Satzes (I.), bestimmten positiven Grenzen; also bleibt der Werth von y 5 -, und 
daher auch der Werth von s n oder + q- t stets zwischen zwei endlichen 
Grenzen, wie gross auch n werden mag. Mithin muss es auch für jede der 
Grössen jt? n , q n eine Grenze geben, welche der absolute Betrag der Grösse 
nicht übersteigen kann.