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UBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTATEN. 
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ist, nur dann geschehen, wenn g +1 negativ ist (indem der Fall ^+1=0 
ausgeschlossen ist), wo dann (m + n)p n für n — oo (gemäss No. VI) unendlich 
klein wird. 
Ist ¿/+1 = 0, so hat man 
p = (l-i-Ul L— 
\ w / \ m + 1 
m— 1 
w + w, 
m + n 
und 
Po ^ Pt F • ■ • F p n — (îw — 1) ( 1 —t • • • F ■—^ ■ 
01 * n y J \m m +1 m + n) 
Diese Summe ist aber (No. II Zus.) divergent. Mithin ist es zur Convergenz 
der Summe 
Pq+Pi^ yPn 
nothwendig und hinreichend, dass g 
Nun ist aber 
1 sei. 
*o+ hI I K — to+tiPi^ VPn) + (¿[Pt) + y (KP*) I I — (ßnPn) • 
Wenn daher #<—1 ist, so wird auch t 0 +t l +—h t n convergiren, indem 
(ßtPi) + J (ß'iPz) I + — (ßnPn) 
gleichzeitig mit p t +p 2 -\ hp n convergirt. 
Ist g> — 1, aber <0, so divergirt von diesen beiden letzten Summen die 
zweite, während die erste, da 
Pn. Pn-i == Pn n ~ 1 _ ( 1 + 1. + 
w ’ w — 1 j> w _ x w \ n 
. g — 1 
1 F — F 
ist, noch convergirt; folglich divergirt auch ^F^H V t n . Dasselbe findet 
statt, wenn ^>0 ist, weil dann t n für n — 00 nicht unendlich klein wird. 
Man sieht also, dass die Reihe (B.) convergirt oder divergirt, je nachdem 
g < — 1 ist oder nicht. 
Zur Convergenz der Summe (A.) ist zunächst erforderlich, dass Lim t n = 0 
n = CO 
sei, weshalb g c 0 sein muss. Dies vorausgesetzt, werde 
U + l±+)( 1+ £++) ( 1 + l±M) = p„ 
\ m )\ m + 1) \ m + n j