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ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN. 189 
Wenn aber x — 1, so hat man 
S + IP — P + P -1 i- P (m + n+1) P n+1 — m.P 0 > 
0 0+ I+ + M ~ g + hi+1 J 
wie sich unmittelbar aus der im Vorhergehenden gefundenen Formel für die 
Summe p^+p^ ergiebt, wenn man in derselben g + M für g und n+1 
statt n setzt. Es wird daher, wofern nicht etwa g = — 1 und zugleich h — 0 
ist, S n convergiren, wenn sich (m + n+ i) P n+l bei beständig zunehmendem 
Werthe von n einer bestimmten Grenze nähert. Dies kann, da 
(m + n + 1) P n 
(m + n) P n 
= U + 
g + h% 
m + n + 1 
1 + 
m+1 
n 
1 + 
m 
n, 
= 1+ 1±ÜAi + 
n 
ist, nur geschehen, wenn g + 1 < 0 ist, indem der Fall g+1 = 0, h — 0 aus 
geschlossen ist. 
Ist ¿7 + 1 = 0 und h — 0, so ist die Divergenz der Summe P o +P i 4 f-P 
bereits im Vorhergehenden bewiesen. 
Folglich convergirt, wofern x — 1 ist, die Summe (A.) nur, gleichzeitig 
mit der Summe (B.), wenn gc — i ist. 
Wenn g = —l und h 0, so bleibt der Werth von (m + n + 1) P n+1 nach 
No. VI zwar stets endlich, nähert sich aber keiner bestimmten Grenze. Das 
selbe gilt also auch von S n und von der Summe (A.). 
Wenn endlich g>—1, also g+1 > 0 ist, so wird der Werth von (m+n + l)P 
unendlich gross für n — oo. Mithin divergirt in diesem Falle S n , und auch 
die Summe (A.). 
Damit ist der aufgestellte Satz in allen seinen Theilen erwiesen. 
Anm. 1. Setzt man statt u n den in der Anm. zu No. VI gegebenen 
Ausdruck u n = vn 9+hl +v n n 9 ~ 1+h \ so ist leicht zu sehen, dass die Summe (A.) 
gleichzeitig mit der folgenden: 
1 + x + x 2 2 g+hi + x 3 3 g+hi + 
+ X n 
9+hi 
convergirt, schwankt, oder divergirt. 
Anm. 2. Die Sätze V bis VII stimmen, wenn man den in ihnen vor 
kommenden Grössen nur reelle Werthe beilegt, im Wesentlichen mit denen 
überein, welche Gauss in der Abhandlung »Disquisitiones generales circa seriem 
infinitam