ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN. 
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Daraus ergiebt sich, als weitere Folgerung: 
4) Wenn cp, cp x , cp 2 , beliebig viele Functionen von x, y, ... sind, die 
sich nach ganzen positiven Potenzen dieser Grössen in Reihen ent 
wickeln lassen, und F ist eine ganze rationale Function von cp, cp i7 cp 2 , , 
so ist die Reihe, welche aus F durch Substitution jener Reihen für 
cp, cp 1? cp 2 , und durch formelle Entwickelung nach Potenzen von 
?/, ... hervorgeht, stets unbedingt convergent und ihre Summe 
gleich F für alle diejenigen Werthe von x, y, ..., für welche die Ent 
wickelungen von cp, cp i? cp 2 , sämmtlich unbedingt convergiren. 
5) Ist aber F eine Function von cp, cp x , cp 2 , , die sich in eine unend 
liche Reihe 
ß y 
CO co‘ cp„ 
entwickeln lässt, und man setzt statt cp, cp x , cp 2 , ihre Reihen-Aus 
drücke, so gelten hinsichtlich der Convergenz der Reihe, die man 
aus der vorstehenden durch Entwickelung derselben nach Potenzen 
von x, y, ... erhält, folgende Bestimmungen. 
A) Es convergiré die ursprüngliche Reihe für JF, sobald cp, cp x , cp a , 
ihrem absoluten Betrage nach kleiner sind als beziehlich p, p x , p 2 , , 
und es seien cj;, cj^, <[> 2 , die Reihen, in welche cp, cp x , cp 2 , über 
gehen, wenn man jeden Coefficienten der letzteren durch seinen ab 
soluten Betrag ersetzt; ferner sei f(x 1 y J ...) die Reihe, in welche F 
durch die angegebene Substitution übergeht, und £, y], ... seien wieder 
die absoluten Beträge von x,y, ...; alsdann convergirt f{x, y, ...) und 
es besteht die Gleichung 
Tu <P„ ) = •••) 
jedenfalls für alle Werthe von x f y,... f die den Bedingungen 
7j,...) < p, <!>,(&, r¡,...) < p lf *i, ...)< p»> 
Genüge leisten. Wenn daher cp(0, 0, ...), ^(0, 0, ...), cp 2 (0, 0, ...), 
ihrem absoluten Betrage nach kleiner als beziehlich p, p 1? p 2 , sind, 
so wird die Reihe f(x, y, ...) wenigstens für alle Werthe von x, 2/, ..., 
deren absolute Beträge gewisse Grenzen nicht überschreiten, con 
vergiren.