202 
ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTATEN. 
B) Convergirt die Beihe, in welche F nach Potenzen von cp, cp x , cp 2 , 
entwickelt werden kann, für alle Werthe dieser Grössen, so convergirt 
die Reihe f{x^y^ ...) und es besteht die Gleichung 
f(x,= F(cp, cp lf cp 2 , ) 
für alle diejenigen Werthe von x,y, ..., für welche die Reihen-Ent 
wickelungen von cp, cp i? <p 2 , sämmtlich unbedingt convergiren. 
Anm. Es ist wohl zu bemerken, dass die vorstehenden Sätze 2) bis 5) 
nicht unbedingt umgekehrt werden dürfen; man darf also z. B. nicht be 
haupten, in dem zuletzt betrachteten Falle convergiré f(x } y,,..) nur für 
solche Werthe von a?, y, ..., für welche die Entwickelungen von cp, cp , cp 2 , 
sämmtlich convergiren. Die Sätze geben daher, obgleich sie sich bei vielen 
Untersuchungen nützlich erweisen, keineswegs die wahren Kriterien, nach 
welchen über die Convergenz von Reihen, die nach ganzen positiven Potenzen 
einer oder mehrerer Veränderlichen fortschreiten, entschieden werden kann. 
Diese Kriterien müssen vielmehr aus einer andern Quelle abgeleitet werden; 
wie ich dies hei einer andern Gelegenheit zu zeigen gedenke. 
Ich betrachte jetzt, um den ersten der oben angegebenen Sätze zu be 
weisen, die Function Fc(u), und beschränke die Veränderlichkeit von u zu 
nächst auf solche Werthe, deren absoluter Betrag kleiner als eine oberhalb 1 
beliebig angenommene ganze positive Zahl m ist. 
Man hat 
Setzt man nun 
so ist 
nfeiK)! = n;j(^ r )> + ^)j = 
log ? ( M , m) = IT{— l°s(l + + log(l + 
Es sei ferner 
_% +a a = +M (-1 y-'jii'-u) 
« = 0 ( a = i CI (« + «&)“ 
(—m)