204
ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN.
ist, nach ganzen positiven Potenzen von u in eine Reihe entwickeln, die
sicher für jeden der betrachteten Werthe von u convergirt; der erste Factor
aber ist durch eine beständig convergirende Reihe von derselben Form
darstellbar. Es ergiebt sich also, nach dem dritten der angeführten Sätze,
für Fc(u) eine nach ganzen positiven Potenzen von u fortschreitende Reihe,
welche jedenfalls convergirt, wenn der absolute Betrag von u kleiner als m
ist. Die Coefficienten dieser Reihe sind aber von in unabhängig; da man
nun diese Zahl beliebig gross annehmen kann, so muss die in Rede stehende
Reihe für jeden endlichen Werth von u convergiren; w. z. b. w.
Was den zweiten der obigen Sätze angeht, so bemerke ich zunächst
Folgendes.
Wenn y eine positive ganze Zahl ist, so kann die Facilitât (w, +x)* in
eine endliche Reihe von der Form
entwickelt werden, wo sich die Coefficienten (y)^ (?/) 2 , ... als ganze Functionen
von y darstellen lassen. Nimmt man für y eine beliebige Grösse an, so ver
wandelt sich die vorstehende Formel in eine unendliche Reihe. Ist y eine
negative ganze Zahl, so lässt sich leicht zeigen, dass diese Reihe für alle
Werthe von w, #, bei denen der absolute Betrag von ~ unter einer bestimmten,
von y abhängigen Grenze liegt, convergirt und ebenfalls gleich (?f, +x) y ist.
Man hat nun angenommen, dies müsse auch für nicht ganzzahlige Werthe
von y der Fall sein, und es hat namentlich üttinger in der oben (S. 157)
angeführten Abhandlung bei seinen Deductionen die in Rede stehende Reihe
vielfach benutzt. Aus den nachstehenden Betrachtungen erhellt indessen, dass
die Reihe, wofern y keine ganze Zahl ist, niemals convergirt, welche
Werthe man auch den Grössen «i, x beilegen möge.
Wenn eine Reihe von der Form
2 a a x a ,
a = — co
wo cc eine veränderliche ganze Zahl bedeutet, für jeden Werth von x, dessen
absoluter Betrag zwischen zwei Grenzen a und b liegt, convergirt, so giebt
es, wofern man x auf irgend einen, ganz innerhalb des Convergenzgebietes
