ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTATEN. 
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der Reihe liegenden Bereich beschränkt, in demselben stets nur eine end 
liche Anzahl von Werthen, für welche die Reihe den Werth Null annimmt. 
Der strenge Beweis dieses Satzes, von dem man bei manchen Untersuchungen 
Gebrauch machen kann, lässt sich aus den oben aufgestellten Convergenz- 
Sätzen ableiten; was ich jedoch hier der Kürze wegen übergehe. 
Dies vorausgesetzt, werde in der obigen Reihe (was unbeschadet der 
Allgemeinheit geschehen kann) x = 1 gesetzt, für y irgend ein bestimmter 
Werth angenommen, und unter u zunächst eine positive reelle Grösse ver 
standen. Angenommen nun, die Reihe convergiré für irgend einen bestimmten 
Werth u o von u ) so wird dies auch für jeden grösseren Werth der Fall sein, 
und es ist unter der Bedingung, dass u zwischen den Grenzen u Q und +oo 
angenommen und bei der Bestimmung der Potenz u y dem Logarithmus von 
u sein reeller Werth beigelegt werde, 
? ( M ) = U y {l + (í/) 1 w' 1 + (í/) 2 w“ 2 +---} 
eine eindeutige und continuirliche Function der Grösse u. 
Wenn y eine ganze positive Zahl ist, so hat man 
/ -i\ m 4* y 
<p(w + l) = —— <p(m), 
IAj 
also 
(u + y)\u y +(y) 1 u y ~ l + (y\ u y ~ 2 + • • •} = u { (w + l) y + (y)j (w + 1 f~ l +..•}. 
Entwickelt man, y als eine unbestimmte Grösse betrachtend, beide Seiten 
dieser Gleichung in Reihen, die nach fallenden Potenzen von u fortschreiten, 
so müssen die Coefficienten der einen Reihe den gleichstelligen der anderen 
Reihe für alle positiven ganzzahligen Werthe von y gleich sein; woraus folgt, 
dass sie identisch einander gleich sein werden, weil sie nämlich sämmtlich 
ganze rationale Functionen von y sind. (In der That gelangt man, wenn 
man die angedeutete Rechnung ausführt, zu den bekannten Ausdrücken von 
(y)j, (y) 2 , ... .) Mithin muss die in der vorstehenden Gleichung ausgesprochene 
Relation 
<p(w+l) = 
gelten, sobald nur die genannten Reihen beide convergiren; was bei den obigen 
Annahmen sicher der Fall ist, wenn u nicht nur > u 0l sondern auch >1 ist.