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ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN. 
Aus dieser Relation ergiebt sich, wenn n eine beliebige positive ganze 
Zahl bezeichnet, 
u{u + 1)... (m + n — 1) 
<p (m + n) 
(m + y) (m + y + 1) • •. (m + y + n—1) 
oder, wenn F(u, ri) dieselbe Bedeutung hat wie im Anfänge des § 6, 
rnftA _ F(u, n) <?(u + n) 
— F(u + y,n) n v 
Es ist aber 
und daher (§ 6, Gleichung 46) 
wenigstens für jeden Werth von u, der > u 0 und zugleich > 1 ist. 
Aus dieser Gleichung folgt, wenn man 
<Pi(*0 = l + (yXw I +(y),w *+••• 
setzt, 
1 dFc (u) 1 dFc (u + y) _ y 1 dy t (u) 
Fc (u) du Fc(u + y) du u du ’ 
1 dFc (u) 1 dFc (m + y) _ y 
Fc(u) du Fc(u + y) du u 
Der Ausdruck auf der linken Seite der letzten Gleichung lässt sich nun 
in eine nach ganzen (positiven und negativen) Potenzen von u fortschreitende 
Reihe entwickeln, welche jedenfalls convergirt, wenn der absolute Betrag von 
u grösser als u 0 ist; die Coefficienten dieser Reihe müssen aber, da die 
Gleichung für jeden zwischen bestimmten Grenzen liegenden reellen Werth 
von u gilt, nach dem oben angeführten Hülfssatze sämmtlich gleich Null sein. 
Daraus folgt, dass die vorstehende Gleichung für jeden (reellen 
oder complexen) Werth von u t dessen absoluter Betrag grösser 
als u o ist, besteht. Dies ist aber nur möglich, wenn y eine ganze Zahl 
ist. Nimmt man nämlich eine ganze positive Zahl n, die > « 0 ist, so an, 
dass «p (— w) einen von Null verschiedenen Werth erhält, und setzt u = — 
so reducirt sich die linke Seite der Gleichung auf