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ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN. 
Hesse), indem der am angeführten Orte zu diesem Zwecke aufgestellte Satz, 
wie es von dem Verfasser selbst in einer späteren Abhandlung über denselben 
Gegenstand bemerkt worden ist, nur dann gilt, wenn die Beihe mit irgend 
einem Gliede abbricht. Aus dem blossen Umstande aber, dass die Summe 
der n ersten Glieder, wenn n ohne Ende wächst, sich einer bestimmten end 
lichen Grenze nähert, lässt sich bei einer Beihe von dieser Form nicht 
schliessen, dass sie der zu entwickelnden Grösse gleich sei. Denn gesetzt, es 
bestehe für eine bestimmte Function F{x) und für alle einem gewissen conti- 
nuirlichen Bereiche angehörigen Werthe von x und x + k wirklich die Gleichung 
F (x + k) = F(x) + 
r = + oo 
2 
(k,-cc) v A v F(x) 
(U+l) v « v 
wo a eine Constante bedeutet und Ax = a zu nehmen ist; so sei cp 0*0 eine 
der Bedingung 
cp (x + a) = cp (x) 
genügende Function und 
F A X ) = ty(x)F(x). 
Dann convergirt, indem 
A y F t (x) = <\>(x) A v F(x) 
ist, für die genannten Werthe von x und x + k auch die Beihe 
*»+ 2 
V = t 
K*,-«)’ 
1 (l,+l) v 
i 
dieselbe ist aber gleich cp(a;) F(x + k), also nur dann gleich F t (x + &), wenn 
cp(a; + Ä) = cp(iC) 
ist, was bei einem bestimmten Werthe von x nicht für alle einem continuir- 
lichen Bereiche angehörigen Werthe von k stattfinden kann. 
Wenngleich hiernach die Benutzung der in Bede stehenden Entwickelungs 
formel in den meisten Fällen nicht ohne Schwierigkeit ist, so bleibt sie doch 
jedenfalls ein treffliches Mittel, um für manche Functionen auf einem natür 
lichen und directen Wege Beihen - Ausdrücke zu erlangen, von denen man, 
nachdem sie gefunden worden sind, in vielen Fällen ohne Schwierigkeit nach- 
weisen kann, dass sie die zu entwickelnden Grössen wirklich darstellen.