ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN. 
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lati on 
<PiO + D 
(u + y + k) u , . 
(u + y) (w + k) ' 
sich ergehe. Ist dies der Fall, so hat man 
<Pi(m+ !) = <Pi(«) . 
cp (m +1) <p (m) ; 
woraus weiter, für jeden ganzzahligen Werth von ?i, 
<Pi (u + n) _ Vl (u) 
cp (u + n) cp (u) 
folgt. Daraus folgt, da auch Limen(u+n) = 1 ist, 
n = + 00 
cp» = ?(«), 
d. h. es besteht die Gleichung 
/qnl (M, + l) y+ * 1 , 2/fc g/Q- 1 ) ^(^-1) y(y-l)(y-2) k(k — l) (Je—2) 
* ■' (ti. + lf(u, + lf 1 M 1.2 u(u +lj 1.2.3 m(m + 1)(m+2) 
für alle diejenigen Werthe von u,y,k, hei denen ti + y + k eine positive, oder 
auch eine complexe Grösse mit positivem reellen Theile ist. Wird dann 
— statt u und — statt k gesetzt, so ergiebt sich die Richtigkeit der Gleichung 
X X 
(91.) (u+k,+x) y = (u,+xf jl + -^ + 
y(y-1) k{k-x) y(y-l)(y-2) k(k-x){k-2x) 
1.2 u(u+x) 1.2.3 u(u+x)(u+2x) 
für die angegebenen Werthe von u, x, y, k, bei denen die Reihe convergirt. 
Die fragliche Relation für clässt sich aber folgendermassen erweisen. 
Es ist, wenn man in dem obigen Ausdrucke für t n der Grösse x den 
Werth 1 beilegt, 
v = + co 
= 2 L 
r = 0 
und aus dieser Gleichung ergiebt sich 
r = + co t 
cp x (M + l) = U 2 
r = o M + V ’ 
indem sich t in 
—— ^ verwandelt, wenn u + 1 statt w gesetzt wird. 
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Nun