12 ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN. 
oder wegen 
( ds\ 2 d 2 s 72 2 
öi) = s e? +iV ’ 
dp\ 2 ö 2 p 
y = p ö? +s 
, ^V = 
’ \ÖR J 
Ö 2 /" 
und daher 
(y +2 ' , y +2i(1 - i ' ) ^ +(i ' +i '“ ,)r ) 
+ r 
ÖV +24 s «|^+2i(l-Ä*)|^ + (4 , + ft*» , )r - 0. 
d. h. 
( 5 -) du ! 
Jede der Functionen 
Al 0) x = p, Al (m) 2 = q, Al 0) 3 = r, Al 0) = s 
genügt also einer linearen partiellen Differential - Gleichung der zweiten 
Ordnung. Diese Gleichungen, welche zur Uebersicht hier zusammengestellt 
werden mögen, 
^ + StP«^. + 2t( 1 _tO^ + (! + *■«■)* = 0 
dr 
/ 
d 2 p 
du 2 
+ 2 k 2 u 
] 
d 2 q 
du 2 
+ 2/i 2 w 
(6.) < 
ö 2 y 
I 
~düF 
+ 2/i 2 w 
( 
d 2 s 
du 2 
+ 2ft 2 w 
haben sämmtlich 
die 
Form 
ÖM 2 
+ 2lc 2 u 
unter t eine nur von k abhangende oder constante Grösse verstanden. Setzt 
man x = scp, und denkt sich unter e eine Function von k allein, so ver 
wandelt sich diese Gleichung in die folgende 
0 + 2^+2^-iof + *V ? + (,+ 2 = 0.