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itzt sind
NEBST ANWENDUNG DESSELBEN AUF DIE THEORIE DER KLEINEN SCHWINGUNGEN.
w r o g, h beliebige reelle Constanten bedeuten sollen, kann für reelle Werthe
von u, v sowohl positive als negative Werthe annehmen. Da nun die Func
tionen
Wj, V 1 , ... u r , v r , & 2r+1 , ... z n
nothwendig unabhängig von einander sind, und auch h i nicht beide Null
sein können, weil sonst die Determinante von 0 Null sein müsste, so wird
man reelle Werthe von ... x n dergestalt bestimmen können, dass die vor
stehenden Functionen alle Null werden, mit Ausnahme von u lf v lt diese aber
beliebig festgesetzte Werthe erhalten. Folglich wird 0 bei reellen Werthen
von u^u^...u n sowohl positiv als negativ werden können. Dasselbe lässt
sich von ¥ sagen. Denn da s x imaginär, also nicht Null sein soll, so ist
auch
g[ + h[i = +
nicht Null, also sicher auch nicht jede der Grössen g[, was genügt, um
für ¥ denselben Schluss zu machen wie für 0.
Hieraus folgt nun unmittelbar der wichtige, für den Fall, wo
(D = 3; + *$ + ... + ®»
ist, zuerst von Cauchy, und später in directerer Weise von den Herren
Borchardt und Sylvester bewiesene Satz, dass die Wurzeln der Gleichung
f(s) = 0, vorausgesetzt zunächst, dass sich keine gleichen unter ihnen finden,
nothwendig alle reell sind, sobald eine der Functionen 0, ¥ bei reellen
Werthen von x x ,x t , ... x n stets dasselbe Zeichen behält.
Gehen wir jetzt zu dem Falle über, wo die Wurzeln der Gleichung
f( s ) = 0 nicht alle von einander verschieden sind. Die in den Formeln (10.),
(11.) vorkommenden zusammengehörigen Functionen d , 0 haben alsdann nur
die Eigenschaft, dass sie sich, wenn s u eine Xfache Wurzel der genannten
Gleichung ist, beide durch dieselben A linearen Ausdrücke von x t , x x) ... x n
darstellen lassen. Aber es ist im Allgemeinen nicht möglich, dies so zu be
werkstelligen, dass in beiden nur die Quadrate der neuen Veränderlichen Vor
kommen. Hierzu ist nämlich erforderlich, dass 0 = s 0 sei: und dieses
findet nur statt, wenn eine Anzahl von Bedingungsgleichungen unter den
