240 ÜBER EIN DIE HOMOGENEN FUNCTIONEN ZWEITEN GRADES BETREFFENDES THEOREM, 
Coefficienteil von <D, 4' und s a erfüllt sind, welche keine algebraische Folge 
derer sind, die ausdrücken, dass ^ eine mehrfache Wurzel der Gleichung 
f(s) = o ist. 
Hier tritt nun aber ein sehr bemerkenswerther Umstand ein. Wenn 
nämlich <1>, ¥ reelle Coefticienten haben, und überdies <I> für reelle Werthe 
von ü/ g , ... x n stets dasselbe Zeichen behält, so folgt hieraus allein, dass 
s stets eine (A—1)fache Wurzel sämmtlicher Gleichungen 
wird, sobald sie eine A fache der Gleichung f(s) = ü ist. Dann aber hat man 
wo f 15 u. s. w. von s unabhängige Grössen sind, und es ist 
1 aß D ° 
(22.) 
(23.) 
Stellt man nun, was immer möglich ist, ft als Summe von A i( Quadraten dar, 
so werden auch jetzt ¥, ¥ durch die Quadrate derselben n linearen Functionen 
von ajj, ... x n ausgedrückt. 
Zum Beweise der angegebenen Eigenschaft der Functionen f(s) ai dient 
die folgende Formel, welche man leicht aus der Regel ableitet, nach der eine 
Determinante, deren Elemente lineare Functionen einer Veränderlichen sind, 
in Beziehung auf diese differentiirt wird. Es sei 
<!> = SV*.*,. 
wo 
so hat man 
(24.) 
Dann ist zu bemerken, dass auch in dem jetzt betrachteten Falle die Grössen 
s t1 s 2 , sämmtlich reell sind. Denn angenommen, eine von ihnen sei 
imaginär, so könnte man durch unendlich kleine Variationen der Coefticienten