250 NEUER BEWEIS DES FUNDAMENTALSATZES DER ALGEBRA. 
wie weit man diese Reihe auch fortsetzen mag, ihren absoluten Beträgen 
nach sämmtlich um eine angehbare Grösse kleiner als 1 sein. 
Angenommen nun, es haben a 0 , a a , ... solche Werthe, und es sei der 
absolute Betrag von ^ beständig kleiner als eine zwischen 0 und 1 liegende 
Grösse e, sobald g einen bestimmten Werth m überschreitet. Dann ist, wenn 
v > g > m, 
und der absolute Betrag von Xv ~ Xfl . kleiner als e u + e“ +I H— + ^<7—- Folg 
lich kann man g so gross annehmen, dass 
für jeden Werth von v, der > g, kleiner ist als jede beliebig angenommene 
noch so kleine Grösse. Daraus folgt, dass sich x^ wenn g ohne Ende wächst, 
einer bestimmten Grenze nähert. Diese werde mit x bezeichnet, dann wird 
die Differenz 
unendlich klein, wenn g unendlich gross wird. Aber 
fM = * M+l , 
folglich muss, da x —x ^ der Grenze Null sich nähert, wenn g ohne Ende 
wächst, 
№ = 0 
sein. 
Die Grösse x ist durch die Werthe, die man a # , a , ... beilegt, völlig 
bestimmt. Man hat daher den Satz: 
Es ist möglich, die Grössen « o , a 2 , « 3 , ... durch Feststellung von Grenzen 
für ihre absoluten Beträge, ohne sie irgend einer andern Beschränkung zu 
unterwerfen, so zu limitiren, dass es eine völlig bestimmte eindeutige Func 
tion derselben 
x = a 0 (l + 'W + 'E'l'j H 1 ... <|>m + • • •) 
giebt, welche für x gesetzt die Gleichung 
x — a 0 —a 2 x 2 — a 3 x 3 0