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ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN. 
Es werde nun 
öi ö 
Al (u\ = p = u-A^ + At-r—- + (-!)“ A, 
(2 n + 1) 
r + 
gesetzt, 3 ) oder 
P = S(-l JA, 
,v+1 
(2y+l)’ 
wo dann A 0 = 1 zu nehmen ist. Es möge hier zugleich bemerkt werden, 
dass überall, wo in diesem § griechische Buchstaben als Exponenten oder 
Indices Vorkommen, dieselben durchaus ganze positive Zahlen, die Null mit 
eingeschlossen, bezeichnen sollen, und dass, wo in den folgenden Formeln 
ein Coefficient mit einem negativen Index erscheint, dieser gleich 0 zu setzen 
ist. Dann ist 
dp 
du 
,2)' + l 
,2J'+1 
— S( I) 7 Ay ( 2y ), S( iy(2y + l)A r £2y + i), » 
d 2 p 
/2}'-X 
= S(-l YA,-^-^ = -S(-l YA y+t 
u 
2}+l 
(2y —X)’ 
(2y+l)’ 
,2;+s 
& _ o/ » ,| ' +l 
a* 1 ; öfc (2y+i) M 
2/ + 1 
y_1 (2y + l) T ’ 
y (2y + 1) 
und aus (§ 2, (3.)) ergiebt sich die Recursions-Formel 
+« = [l + (4y + l)i>]^+2j(l-i*)-^l-2y(2y+l)a,.,. 
(A) 
ist eine ganze Function von Ä; weil Al(ku, JLj = JcA\(u\ ist, so muss 
^ +1 +(l) = *+- = Ä > 
sein, und daraus folgt, dass A y vom (2y) ton Grade ist. Da überdies nur grade 
Potenzen von h Vorkommen dürfen, so kann man setzen 
Dann ist 
A y = ¿o,r+A lir „ l V+ — + A yt0 k v = S A atß h w . 
(« + ß = y) 
A r+1 = S A aiß V a , A r = S A Ui(t k* a = S 
(“ + ß = y + l) (a + /3 = y) (a + /3 = y+l) 
ltA r = S 4,,„fc“ +a = = S 2ciA ujì k ìa = S2«4, 
(« + ß = y) (a + ß — y + l) 
(ct + ß = y) 
(a+ß = y+l)