ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN. 
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h3 ~dlT = S2 «4^ 2 “ +2 = S(2«-2 )A a _ hß V\ 
(ct + ß = y) (u + ß = y+1) 
k 2 A y _ 1 = S A Uiß tf“ + > = SA^^k™. 
(cc + ß — y-l) («+/3 — 7 + 1) 
Substituirt man diese Ausdrücke in (A), so erhält man die Relation 
(!•) A U/i * = (4a + l)A at/S _ 1 +(4ß+l)A a _ li/S —(2cc + 2ß—2)(2cc + 2ß—l)A ce _ Jiß _ 1 , (a+ß = y + 1) 
vermittelst welcher, da A 0/0 = 1 bekannt ist, sämmtliche Coefficienten A aß be 
rechnet werden können. Uebrigens erhellt sofort, dass alle ganze Zahlen 
sind, und dass, wie auch schon die Gleichung Al (ku, = ft Al (u) t erfordert, 
allgemein A ttiß = A ßiU ist. Man hat dann 
.2-/ + 1 
( 2 -) Al(«), = Sj(-1)M„ >( ,4* (2y + 1)1) . 
(a + ß —y) 
A1(w) 2 hat die Form 
oder 
. 1 . . -T* V/ j. Vj . . _ u n 
t = S(-1 YB r 
, 2 V 
V » 
wo = 1. Es ist dann 
(2y) 
0 = S(-1 yB t7 ±-^ = -S(-1 YB, 
i*r 
(2y 2)’ 
dq 
, 2 v 
•*- = = S (-*W 
y+i ( 2 y)’ ’ 
dq 
die 
dk (2y)’ ’ 
• 2y + 2 
= -S(-I72y(2y-1)B,.. (w , 
und aus (§ 2, (4.)) folgt die Recursions-Formel 
S y+1 = (l+WB y +2k(l-¥)-^--(2y-l)2yFB y _ 1 . (B) 
Weil A1(äw, 4-) = Alfa), ist, so muss fc 2/+2 R , der Coefficient von 
V ’ fc/g w * ’ (2y + 2)’ y +1 \Ä/ 
w 23+2 in der Entwicklung von A1(m) 8 sein, und da dieser eine ganze Function 
von k 2 ist und überdies für k=0 verschwinden muss, weil dnu — 1 wird 
für k — 0, so folgt, dass B v+i von nicht höherem als dem (2y) ten Grade sein,