DER HYPERELLIPTISCHEN DIFFERENTIAL-GLEICHUNGEN. 
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eine neue ersetzen zu müssen geglaubt. Es dürfte indessen gut sein zu be 
merken, dass das Abel’sche Theorem, so wie dasselbe auf die einfachste 
Weise zu den vorhin angegebenen Integralen der betrachteten Differential- 
Gleichungen führt, auch die rationalen Formen der ersten unmittelbar liefert. 
Es sei H(x,t) eine rationale Function von #, deren Coefficienten selbst 
beliebige Functionen einer andern, von x unabhängigen Veränderlichen t sind. 
Bezeichnet man dann mit x^x^ ... x n die von t abhängigen Wurzeln der 
Gleichung 
= H(x, t), 
so gelten, dem genannten Theorem gemäss, die q Gleichungen, welche aus 
der folgenden 
•^1 ( X V ) 
\ i 
(v = 0,... n) 
hervorgehen, wenn man a — 0, 1, ... q— 1 setzt, vorausgesetzt dass man der 
Wurzelgrösse \jR(x v ) von den beiden Werthen, die sie haben kann, den durch 
die Gleichung 
= H(x v ,t) 
bestimmten beilegt. Giebt man insbesondere H(x,t) die Form 
M (oc) + tN (x), 
wo Af, N ganze Functionen von x, deren Coefficienten von t unabhängig sind, 
bedeuten sollen, so kann man bewirken, dass die Gleichung 
\jR(x) — M{x) + tN(x) 
genau q +1 von t abhängige Wurzeln erhält, und dass dieselben für einen 
bestimmten Werth von z. B. für t — 0, vorgeschriebene Werthe c 0 , c l5 ... c ? 
annehmen, während zugleich die Zeichen der zugehörigen Radicale \/R(c 0 ), 
... y ; I?(c tJ j beliebig fixirt werden können. Zu dem Ende nehme man 
für M{x) eine ganze Function p ten Grades von x, die für x = c 0 , c l? ... c Q die 
Werthe \jR(c 0 ), \pR (cj, ... S/Rlc^) erhält, so dass 
R(x)-M 2 (x) 
(x-c^ix-c,) ...(x-c Q ), 
durch das Product