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276 ZUR INTEGRATION DER LINEAREN PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
Punkte bezeichnet: 
u'U+v'V+w'W = t. 
Fällt man ferner von 0 aus auf diese Ebene ein Loth, so ist die Länge des 
selben 
t 
\Ju'u'+ v'v' + w'w' ’ 
und die Coordinaten seines Fusspunktes sind 
u’t v’t 
iv’t 
u'u' + v'v' + w'w' 
u'u'-\- v'v' + w'iv' 
U U + V V + iVW 
Dieses vorausgesetzt, sei F(u,v,w) eine Function von w, v, w, die sich 
überall stetig ändert, mit Ausnahme etwa in der Nähe des Punktes O, und 
es werde der Werth, den das Integral 
/// 
F(u,v, iv) dudv dw 
erhält, wenn die Integration über alle diejenigen Punkte des Raumes aus 
gedehnt wird, die zwischen zweien Flächen a t und a fo liegen, — wo wir jetzt 
t als eine unbeschränkt veränderliche positive Grösse und t 0 als einen be 
sonderen (festen) Werth derselben betrachten — mit 
: J'F(u, v, iv) do) 
bezeichnet, in welcher Formel dm das Raumelement dudvdw bedeutet und 
das obere oder das untere Zeichen zu nehmen ist, jenachdem 
t > t 0 oder t <t 0 . 
Dann erhält man durch eine einfache geometrische Betrachtung die folgenden 
beiden Gleichungen, in denen da t ein Element der Fläche a t bedeutet. 
f F(u, v, w) dm = f j F(U ' V :? )d °! 
J \UU+VV+IVIV 
(¿0 •• • t) 
D, f D„F(n, v, w) dm = D,f■. «) 
J J \U U + V V + w w 
(4-.-0 
*) Die Gleichung (A) ergiebt sich folgendermassen: 
Der Zuwachs von J F(u,v,w)du>, wenn t sich um dt ändert, ist gleich 
(4 
fF(u, v, w)d(o. 
*, ; 3gy,f ä