Iß ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN. 
und man daher setzen kann 
B., +l = B oy + f B„W = S B Uiß lc- a . 
(a + ß = y) 
Dann ist ferner, y > 1 vorausgesetzt, 
B r = S B^nr = s B aiß _jr, VB r = SB aJf k 2a+2 = S B a _ liß Jc 2a , 
[(« + ß = y-l) (a + j? = y) (« + /? = y-1) (« + ß = y) 
Jc^L = = S = S2 = S 
(a + ß = y-l) (a + ß = y) (« + ß = y-1) (a + ß = y) 
fc 2 !?^ = SR«,^ 2 “* 2 = SB a _ hß _ t V*. 
(a + ß = y- 2) (« + ß = y) 
Daraus ergiebt sich die Relation 
(EL) 5a,, = (4a + l)5^_ 1 +(4/3 + 4)5 a _ 1|/ ,-(2« + 20-l)(2a + 2/3).B o _ 1>/ ,_ l . 
Es darf hier a + ß = y nicht kleiner als 2 genommen werden; man erhält 
aber aus (B) B t = 1, B 2 = 1 + 2/v 2 , also 5 o o = 1, 5 Pl = 1, B l 0 = 2, und somit 
können sämmtliche Coefficienten B iC ß berechnet werden, und man hat dann 
(3.) Al(«), - 1-S 1' 
(c + ß = y) 
Hieraus folgt sofort, weil Al(ti) s = Al^Äu, yj ist, 
(4.) A1K = 1-S 
(a + ß = y) 
Die Reihe für Al(w) endlich hat die Form 
Al(w) 
l-^TT+^sTi 1 (— l)"“ 1 C H T^r + 
(2w)’ 
oder 
s = s 
wo dann C 0 = — 1, C i — 0 zu nehmen ist. Es ist 
d 2 s 
du 2 
■ 2J’-2 
= - S( - ir ' C! 
/2 y 
y + l J 
(W 
ds 
u w< = S(-l)’-C, 
(2y-l)’ 
S( - x )’" 2yC 'W'