ZUR INTEGRATION DER LINEAREN PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 283 
wenn man unter da ein Element der Fläche 
au 2 + bv 2 + cw 2 + 2 a'viv + 2b'wu + 2c! uv — 1 
versteht, unter u, v, w die Coordinaten eines zugehörigen Punktes, und die 
Integration über die ganze Fläche ausdehnt. 
Das Vorstehende gilt zunächst unter der Voraussetzung, dass t positiv ist. 
Es ist aber für einen positiven Werth von t 
fn 
f(x + u, ...) dudvdw 
[0 2 (w, v, w) <i 2 ] 
v, w) 
/'(/ 
f(x + TU, y + XV, Z + Tw) 
~ \fü* + r a + w 
do\xdx. 
Der Ausdruck auf der rechten Seite hat nun auch eine Bedeutung für nega 
tive Werthe von t, bleibt jedoch, wenn —t für t gesetzt wird, unverändert, 
denn 
n/ 
fix + XU, y + TV , 8 + Tw) 
sJü'+v'+W* 
/ * l C f(x — TU,y — TV,Z — TW) 
\J \fu 2 +V 2 + 
da 1 xdx 
da\xdx. 
Für jede Fläche o aber, welche die Beschaffenheit hat, dass sie von einer 
durch O gehenden Geraden in zweien, gleichweit von O abliegenden Punkten 
geschnitten wird, ist bei einer beliebigen Function f(u,v,w) 
ff(u, v,w)do — ff(—u, —v, —w) da. 
Es ist also das dreifache Integral, von dem F die Ableitung nach t ist, eine 
grade Function von £, F selbst also eine ungrade. Wenn aber die gege 
bene Differentialgleichung, unter der Voraussetzung dass cj; eine ungrade 
oder grade Function von t ist, für alle positiven Werthe dieser Grösse be 
steht, so ist sie auch für alle negativen gültig. 
Für t — 0 wird F = 0, und 
dF 
dt 
= f 
da 
Es ist aber 
fff 
(ö 2 < l) 
du dv dw 
$(u 1 v,w) 
/'(/ 
da 
\[ü 2 + V 2 + W 
\JU 2 + V 2 + W 2 
) TdT = 1/ 
da 
\JÜ 2 + V 2 + W 2