ZUR INTEGRATION DER LINEAREN PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 285 
und die Integration erstreckt sich über alle Werthe von p, q, r, für welche 
gp 2 + hq 2 + kr 2 < t 2 
ist. Diese erhält man, wenn man 
l , l . , 1 . , . 
p = —-r^-xcosA, q — —— • T sin A cos ft, r — —=■ • x sin A sin g 
\]g y h Sjk 
setzt, und 
t alle Werthe von 0 bis t, 
A alle Werthe von 0 bis xz , 
ft alle Werthe von 0 bis 2tc 
beilegt. Dann muss 
dp dq dr 
\]gp 2 -f hq 2 + kr 2 
ersetzt werden durch 
T sin A dx dk dg 
\Jghk 
wobei zu bemerken, dass ghk — ist. Danach hat man, wenn X(u,v,w) 
eine beliebige Function von u, v, w ist, 
/// 
(ö 2 <f 2 ) 
X(u,v, w) dudvdiv 
v, w) 
m 2ir 
\[G. X (xu x , XV t , xw 1 ) T sin A dg dk dx, 
wo 
cos A , sin A cos it ,, sin Asina 
u x = =--^ + a" ^- 
V# V* V /c 
cos A , sin A cos „ sin A sin ft 
v ‘= ß -W +ß ~W~ +ß ~W~ 
cos A , sin A cos ft „ sin A sin g 
w, = y 
+ y 
\fh 
+ y 
\Jk 
Setzt man X(u,v,w) = 1 und t — 1, so kommt 
w = 
2tc 
t sin A dt dA dft 
2tc \JG. 
Wir haben also das Resultat: 
Es seien F(x,y, ¿?), f{x^y ) z) zwei willkürlich angenommene Functionen 
von x, y, #, 
G = ABC-AA'Ä-BB'B'-CC'C'+ZA'B'C',