ZUR INTEGRATION DER LINEAREN PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 293
für
Die vorstehenden Formeln geben die allgemeinen Integrale der Glei
chungen (F) für den Fall, dass E, 73, C für t — 0 verschwinden, also jedenfalls
auch, wenn E, 7], C ungrade Functionen von t sein sollen. Nimmt man nun
drei Ausdrücke von derselben Form, in denen aber f ai f durch drei andere
Functionen vertreten sind, bildet von diesen die Ableitungen nach t und fügt
diese bezüglich zu E, tj, C hinzu, so hat man die allgemeinen Ausdrücke dieser
Grössen.
Es ergiebt sich also folgendes Resultat: Man bestimme sechs Functionen
f*{t,x,y,z), f a (t,x,y,z),
F t (t, x, y, z), F % (t, x) y, z), F a (t, x, y, z),
welche für f gesetzt, der Gleichung
{D\-Dl-D\-D\)f = 0
genügen, und überdies alle für t = 0 verschwinden, ferner seien
^{t,x,y,F), ^{t,x,y,s), <I>s (ß,x,y,s),
W t (t, x,y, z), W,(t,x,y,z), W a (t,x,y,z)
diejenigen sechs Functionen, deren zweite Ableitungen nach t beziehlich
fl, U, fs,
Fi, F 2, E 3
sind, und welche ebenfalls für t — 0 sämmtlich verschwinden. Setzt man dann
ty(t,x,y,z) = D x $ 1 {t,x,y,z) + D y $ z (t,x 1 y,z) + D B ty a {t,x,y 1 z),
^ (ß, X, y, z) = x, y, 8) + D y W z (t, X, y, 8) + D e W a (t, X, y, 8) ,
so sind
i\ llf i («t) + ~D t F I (at) + D\
die allgemeinen Integrale der Gleichungen (F).