THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN. 
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und fruchtbarer Eigenschaften ans, dass man ihnen und einer Reihe anderer, 
im Zusammenhänge mit denselben stehenden, vorzugsweise den Namen »AbeP- 
sche Functionen« zu geben berechtigt ist, und sie zum Hauptgegenstande 
der Betrachtung zu machen aufgefordert wird. 
Die nächste Aufgabe, welche sich nun darbietet, betrifft die wirkliche 
Darstellung der im Vorstehenden definirten Grössen, sowie die Entwicklung 
ihrer hauptsächlichsten Eigenschaften. Sodann ist es auch erforderlich, das 
Integral 
wo F(x) eine beliebige rationale Function von x bedeutet, als Function von 
«q, «q, ... u auszudrücken. Beide Probleme finden in der gegenwärtigen 
Schrift, deren Resultate ich zum Theil schon früher in zwei kleinern Ab 
handlungen*) bekannt gemacht habe, ihre vollständige Erledigung, und zwar 
auf einem Wege, welcher von dem für die Abel’schen Functionen zweier 
Argumente von Göpel und Rosenhain betretenen gänzlich verschieden ist. 
Die genannten Mathematiker gehen nämlich von unendlichen Reihen aus, die 
sie aus denen, durch welche Jacobi die elliptischen Functionen auszudrücken 
gelehrt hat, durch eine von tiefer analytischer Einsicht zeugende Verallge 
meinerung erhalten, und zeigen dann, wie sich aus denselben, die zwei ver 
änderliche Grössen «q, u 2 enthalten, die Coefficienten einer quadratischen 
Gleichung so zusammensetzen lassen, dass zwischen deren Wurzeln und «q, u 
zwei Differential - Gleichungen von der oben aufgestellten Form bestehen. 
Dagegen war mein Bestreben- von Anfang an auf die Auffindung einer Me 
thode gerichtet, die geeignet sei, unmittelbar von den genannten Differential- 
Gleichungen aus für jeden Werth von q auf einem einfachen, alle Willkür- 
lichkeit ausschliessenden Wege zur Darstellung der Grössen aj 00^ »i • • • als 
Functionen von «q, «q, ... u in einer für alle Werthe der letztem gültig 
bleibenden Form zu führen. Durch weitere Ausbildung eines Verfahrens, 
dessen ich mich bereits früher zur directen Entwicklung der elliptischen 
Functionen, ohne Voraussetzung der Multiplications- und Transformations- 
Formeln, mit gutem Erfolge bedient hatte, gelang es mir, das Ziel, welches