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THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN. 
f(s) 
welche Reihen-Entwicklung von durch 
\m i 
M s ). 
angedentet werden möge, so wie durch 
\№] 
M s ). 
o±m 
der Coefficient von s ±m in derselben. Ist nun 
•jt(s) = R 0 +Rj.sH B n s u , 
so müssen, wenn man die Reihe 
m 
7t (S) 
mit 11(5) multiplicirt, aus dem Pro- 
ducte alle Glieder mit negativen Potenzen von s fortfallen, und daher 
B 0 + B x E m+1 -I \-B u E m+u — 0 
sein, indem der Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung der Coeffi 
cient von s~ m_1 in dem gedachten Producte ist. Diese Relation lehrt aber, 
dass die Coefficienten E 0 , E^ u. s. w. sämmtlich gleich Null sind, sobald 
dies mit den n ersten der Fall ist. Denn da B nicht Null ist, so er- 
hellt unmittelbar, dass E m+n = 0 sein muss, wofern _E m , E m+1 , ... -E m+n _ i sämmt 
lich verschwinden; woraus, indem man der Reihe nach m = 0, 1, 2, u. s. w. 
setzt, das Behauptete sofort sich ergiebt. Dann hat man 
= D 0 + 2V + IV’ + ..., 
oder 
fi. s ) — (Bq+B^-)—)(D 0 + D x s + • • •) 
für alle Werthe von s innerhalb der bezeichneten Grenzen. Die letztere 
Gleichung kann aber nicht anders bestehen, als wenn in der Reihe, die aus 
der Entwicklung des Products auf der rechten Seite hervorgeht, die Coefli- 
cienten mit den gleichstelligen von f(s) übereinstimmen. Dann aber gilt sie, 
und mit ihr auch die vorhergehende, überhaupt für alle Werthe von s, bei 
denen die Reihen 
A 0 + A 1 s + • • •, JD 0 + B 1 s + • • • 
beide convergiren. Für die letztere steht dies aber, ihrer Herleitung nach,