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THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN. 
die Functionen bezeichnet, in welche die Ausdrücke (26, § 3) durch die an 
gegebene Substitution übergehen, durch die Formel 
(6.) 
V-R(gq) = N(x a , u t , ...Uq) 
QM MM U i,w s ,...w ç ) 
Hierzu ist jetzt noch eine wesentliche Bemerkung zu machen. 
Nenner und die Zähler in den Ausdrücken von 
Der 
? ( M U •• Ol» U. s. w. 
hängen, ausser von n..., noch von der Zahl ft ab. Gleichwohl lässt sich 
nachweisen, dass die Werthe dieser Functionen selbst stets dieselben bleiben, 
welchen Werth man auch dieser Zahl geben möge, wenn derselbe nur gross 
genug genommen wird, um die in den in Bede stehenden Ausdrücken vor 
kommenden Beihen convergent zu machen. 
Wenn nämlich F(u.u t ,...), G(u i , ...), F'{u r , u % ,...), G'(w i? u % ,...) ein 
deutige Functionen mehrerer Veränderlichen u % , . . . sind, die sich nach 
ganzen positiven Potenzen derselben in Beihen entwickeln lassen, und es gilt 
die Gleichung 
F(u lt u 2 ,...) _ F'(u l ,u 2 ,...) 
...) &'(«„« ) 
für alle Werthe von U 21 ..., die ihrem absoluten Betrage nach kleiner als 
gewisse Grössen sind; so muss sie überhaupt für alle Werthe der genannten 
Veränderlichen bestehen, bei denen die Beihen für F, G, F\ G' sämmtlich 
convergir en. Denn es folgt aus ihr 
FGr' = GF', 
und wenn diese Gleichung für beliebige unendlich kleine Werthe von u t1 u 3 , ... 
richtig sein soll, so müssen die Beihen, in welche FG und GF' nach ganzen 
positiven Potenzen dieser Grössen entwickelbar sind, in den gleichstelligen 
Coefficienten übereinstimmen, woraus denn folgt, dass sie, und mit ihr auch 
die ursprüngliche 
F _ F' 
G ~ W 
gilt, sobald nur u x , ... solche Werthe haben, dass die Entwicklungen von 
F, G, F\ G’ sämmtlich convergent sind.