THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN. 
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ausdrücken lassen, zu einer völlig bestimmten, auf beliebige Werthe von 
u l i u *i"' u q anwendbaren Erklärung zu führen, und die analytische Form 
derselben in so weit festzustellen, als hierfür und zum Behufe der weitem 
Entwicklungen erforderlich ist: Die in § 4 und § 6 gegebenen Formeln ge 
nügen für diesen Zweck zwar vollständig, nicht aber, wenn verlangt wird, 
die genannten Grössen in einer ihrem wahren analytischen Charakter ent 
sprechenden, für alle Werthe der Argumente ... u unverändert dieselbe 
bleibenden Form darzustellen. Diese bleibt vielmehr noch zu ermitteln. 
Der Umstand, dass die unendlichen Reihen, welche in / den Formeln 
((IV.), (XIII.), § 4) und (6, § 6) Vorkommen, für um so grössere Werthe von 
w l? ... u convergent bleiben, je grösser man die Zahl [i annimmt, begrün 
det die Vermuthung, es werde sich jede derselben, wenn n = oo gesetzt wird, 
in eine für alle Werthe der genannten Veränderlichen convergirende Reihe 
verwandeln, und sich auf diese Weise eine Darstellung der in Rede stehenden 
Functionen in der gesuchten Form ergeben. Es dürfte vielleicht möglich 
sein, durch eine genauere Untersuchung jener Reihen die Richtigkeit dieser 
Vermuthung strenge zu erweisen; ich gehe jedoch hierauf nicht ein, weil 
man, wenn es auch gelänge, dadurch noch nicht dahin kommen würde, für 
jede einzelne der beiden Functionen, als deren Quotient alsdann irgend 
eine Abel’sche Function sich darsteilen Hesse, eine analytische Definition zu 
gewinnen. Es tritt uns hier vielmehr eine Aufgabe entgegen, welche, so viel 
ich weiss, noch nicht allgemein behandelt worden, und doch für die Theorie 
der Functionen von besonderer Wichtigkeit ist. 
Die einfachsten transcendenten Functionen sind solche, welche sich nach 
ganzen positiven Potenzen ihrer Argumente in beständig convergirende 
Reihen entwickeln lassen und somit im Wesentlichen den Charakter der 
ganzen rationalen Functionen besitzen. Nach ihnen kommen diejenigen, 
welche aus mehreren dieser Art in rationaler Weise zusammengesetzt und 
daher als Quotienten aus zweien dargestellt werden können. Man kann sie 
als transcendente Grössen vom Charakter der gebrochenen rationalen Func 
tionen bezeichnen. 
Oftmals aber ist eine Function in der Art definirt — und so verhält 
es sich, der vorhergehenden Darstellung nach, mit den Abel’schen —, dass 
zwar die Möglichkeit gegeben ist, sobald jedes ihrer Argumente auf einen 
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