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THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN. 
Potenzen von u entwickelt, wenn auch die dabei gebrauchte Reihe 
nicht für alle Werthe von u convergirt. 
Beweis. Es seien a x , a 2 , ... a a unter den Werthen von w, für welche F(u) 
unendlich gross wird, diejenigen, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner als 
eine beliebig angenommene Grösse U sind, den Werth Null, wenn er auch 
zu denselben gehört, ausgeschlossen. Es ist leicht zu erweisen, dass es nur 
eine endliche Anzahl solcher Werthe geben kann. Denn sonst müsste sich 
in dem angegebenen Bereiche von u wenigstens ein Werth a finden, in 
dessen Nähe eine unbegrenzte Menge derselben vorhanden wäre. Dann aber 
Hesse sich F(a + k), wie klein auch k angenommen werde, nicht nach ganzen 
Potenzen dieser Grösse in eine convergirende Reihe entwickeln, die, wie doch 
vorausgesetzt wird, nur eine endliche Zahl Glieder mit negativen Potenzen 
von k enthält. Bezeichnet man nun mit m 2 , ... m a die zu a x , a s , ... a o ge 
hörigen Werthe der Zahl m in den Entwicklungen von 
F (a x + k), F(a 2 + k), ... F (a a + k), 
und setzt 
so hat man nach dem oben Bemerkten 
ganzen positiven Potenzen von A’j 
wo m = i*, are 1? ?w 2 , ... m a ist für a — 0, a,, a 2 , ... a o , und Null für jeden andern 
Werth von a. Setzt man daher 
so ist F x (a + k) bei jedem Werthe von a, dessen absoluter Betrag kleiner als 
U ist, in eine nur ganze positive Potenzen von k enthaltende Reihe ent 
wickelbar. Daraus folgt, dass jF(w), so lange der absolute Betrag von u 
unterhalb der genannten Grenze bleibt, stets einen endlichen Werth hat und