THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN. 
sich continuirlich mit u ändert. Dasselbe gilt von dFl(u) 
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g (so wie von den 
höhern Differential-Coefficienten dieser Function). Nach einem Cauchy’schen 
Satze lässt sich daher F l {u) für alle jene Wbrthe von u durch eine conver- 
girende Reihe 
sa m u m 
m = 1,... oo 
darstellen. Wird daher 
G m u x + m 
f,(u) = '(«•+1)-C»+*)1 
gesetzt, so ist f^i) in eine, jedenfalls für dieselben Werthe von u conver- 
girende Reihe von der Form 
ft( u ) 
u^+Sf m u x+m 
nt = 0,... oo 
entwickelbar,*) und man hat 
ö*log/i(w) 
(FlogTi^f) 
+ FM = F(u). 
Nun kann man aber, wenn u dem absoluten Betrage nach kleiner als jede 
der Grössen a x , « 2 , ... a a ist, F(u) durch eine convergirende Reihe 
öHog u 
ausdrücken, wo ^ Null oder eine ganze positive Zahl ist. Nimmt man daher 
für f{u) die aus der Entwicklung des Ausdrucks 
, S S(m+lj , .“.(m+l)l + C » +C ‘“ + "' + Cl - 
hervorgehende Reihe, so convergirt dieselbe sicher bei den eben genannten 
Werthen von u, und man hat für dieselben 
d x log f(u) 
und mithin auch 
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