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THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN. 
woraus durch Integration 
logf(u) = log f^u) + Cq+ C[u 4 f C'i^u 1 1 , 
f(u) = /-,(«). ( . Ci+C: “ + "' + C1 -” i "‘ 
folgt, wo (7', C', ... gleich C 0 , C, ... Constanten sind, und aus den 
für f(u) und f t (u) aufgestellten Ausdrücken sofort erhellt, dass man, wenn 
l° g (^) = c 1 u + c 2 u 3 + --- 
ist, 
Cq + C' t u + • • • + Gi-i 1 = G 0 + C^u + • • • + C^_i^ 1 c x w • — c^_ x iH' 
hat. Der Exponential-Factor in dem vorstehenden Ausdrucke von f(u) lässt 
sich aber nach Potenzen von u in eine beständig convergirende Reihe ent 
wickeln; folglich muss auch das Product aus derselben und der Reihe für 
f^u), das heisst die mit f(u) bezeichnete Reihe convergiren, sobald der ab 
solute Werth von u kleiner als U ist. Aber U kann beliebig gross ange 
nommen werden, während die Coefficienten von f(u) stets dieselben bleiben, 
welchen Werth auch U haben möge. Mithin muss die Reihe für f(u) eine 
beständig convergirende sein, wenn auch die bei der Bildung ihrer Coeffi 
cienten gebrauchte 
( F u l+m 1 
1 (m +1)... (in + A) i 
es nicht ist. 
Zugleich sieht man aus der vorhergehenden Darstellung, dass die aufge 
stellte Formel den allgemeinsten Ausdruck der Function f(u) liefert. Denn 
gesetzt, es sei f 0 (u) irgend eine andere, welche auch der Differential-Gleichung 
= F{u) 
du 1 v ; 
genügt, so muss, wie gezeigt, 
fo («) = meX“’ 
sein, wo u) eine ganze Function (Z —l) ten Grades bedeutet, wonach f 0 (u) in 
dem für f(u) gegebenen Ausdrucke mit einbegriffen ist. 
Anmerkung. Hätte die Function F(ti) nicht für alle Werthe von u, 
sondern nur für alle dem absoluten Betrage nach unterhalb einer gewissen